高中数学网方程的根与函数的零点
2.掌握函数零点的判定方法.
3.会用函数零点的存在性定理判断函数是否存在零点.
1.函数$y=a x^{2}+b x+c(a>0)$的图象与x轴的交点和相应方程$a x^{2}+b x+c=0(a>0)$的根的关系
函数图象
判别式符号 (设判别式
$\Delta=b^{2}-4 a c$)
$\Delta>0$
$\Delta=0$
$\Delta < 0$
与x轴的交点个数
2
1
0
方程的根的个数
2
1
0
【做一做1】 已知二次函数$y=x^{2}-x-1$,则使y=0成立的实数x有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
2.函数的零点
(1)定义:对于函数$y=f(x)$,我们把使$f(x)=0$的实数x叫做函数$y=f(x)$的零点.
(2)几何意义:函数$y=f(x)$的图象与x轴的交点的横坐标就是函数$y=f(x)$的零点.
(3)结论:方程$f(x)=0$有实数根?函数$y=f(x)$的图象与x轴有交点?函数$y=f(x)$有零点.
名师点拨并非所有的函数都有零点.例如,函数$f(x)=x^{2}+1$,由于方程$x^{2}+1=0$无实数根,故该函数无零点.【做一做2-1】 已知函数$y=f(x)$有零点,下列说法不正确的是( )
A.$f(0)=0$
B.方程$f(x)=0$有实根
C.函数$f(x)$的图象与x轴有交点
D.函数$f(x)$的零点是方程$f(x)=0$的实数根
【做一做2-2】 函数$f(x)=\frac{x-1}{x}$的零点是（ ）
A.(1,0) B.0 C.1 D.0和1
3.函数零点的判定定理
条件
结论
函数$y=f(x)$在[a,b]上(1)图象是连续不断的一条曲线;(2)$f(a) f(b) \leq 0$
$y=f(x)$在$(a, b)$内有零点
名师点拨判断函数$y=f(x)$是否存在零点的方法:
(1)方程法:判断方程$f(x)=0$是否有实数解.
(2)图象法:判断函数$y=f(x)$的图象与x轴是否有交点.
(3)定理法:利用零点的判定定理来判断.
【做一做3-1】 函数$f(x)=x^{2}+x-b^{2}$的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数
【做一做3-2】 若函数$f(x)=k x-2^{x}$在(0,1)内有零点,则实数k的取值范围是_______.
1.对零点判定定理的理解
剖析:
(1)当函数$y=f(x)$同时满足:①函数的图象在闭区间[a,b]上是连续曲线;②$f(a) \cdot f(b) < 0$,则可以判断函数$y=f(x)$在区间(a,b)内至少有一个零点,但是不能明确说明有几个零点.
(2)当函数$y=f(x)$的图象在闭区间[a,b]上不是连续曲线,或不满足$f(a) \cdot f(b) < 0$时,函数$y=f(x)$在区间[a,b]上可能存在零点,也可能不存在零点.
例如:二次函数$f(x)=x^{2}-2 x-3$在区间[3,4]上有$f(3)=0, f(4)>0$,所以$f(3) \cdot f(4)=0$,但x=3是函数f(x)的一个零点.
函数$f(x)=x^{2}$在区间[-1,1]上有$f(-1) \cdot f(1)=1>0$,但是它存在零点0.
函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1, x>0} \\ {-2, x=0} \\ {x-3, x < 0}\end{array}\right.$，在区间[-1,1]上有$f(-1) \cdot f(1) < 0$，但是由其图象知函数f(x)在区间(-1,1)内无零点.
2.函数的零点不是点
剖析:
我们把使$f(x)=0$成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点,因此函数的零点不是点,是函数$y=f(x)$的图象与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.函数f(x)的零点是方程$f(x)=0$的实根,方程$f(x)=0$有几个实根,函数f(x)就有几个零点.例如,函数$f(x)=x+1$,当$f(x)=x+1=0$成立时,x=-1,所以函数$f(x)=x+1$有一个零点-1,由此可见,函数$f(x)=x+1$的零点是一个实数,而不是一个点.
题型一、求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点.如果存在,请求出零点.
(1)$f(x)=-8 x^{2}+7 x+1$;(2)$f(x)=1+\log _{3} x$;
(3)$f(x)=4^{x}-16$;(4)$f(x)=\frac{x^{2}+4 x-12}{x-2}$
分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
反思
1.求函数f(x)的零点时,可考虑解方程f(x)=0,方程f(x)=0无实数根,则函数f(x)无零点,方程f(x)=0有实数根,则方程的实数根是函数f(x)的零点.2.本例(4)小题中容易错写成函数的零点是x=-6和x=2,其原因是没有验根.
【变式训练1】 已知函数$f(x)=x^{2}+a x+b$的零点是-1和-2,则函数$g(x)=b^{x}-a$的零点为______.
题型二、判断函数零点的个数
【例2】 判断函数$f(x)=\log _{\frac{1}{2}} x-\sqrt{x}$的零点的个数.
反思
当无法解方程f(x)=0时,常用图象法判断函数f(x)的零点个数.对于函数f(x),如果能化为f(x)=g(x)-h(x)的形式,其中函数g(x)和h(x)的图象能够画出来,那么在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图象,它们图象交点的个数就是函数f(x)的零点的个数.
【变式训练2】 函数$f(x)=\ln x-\frac{1}{x-1}$的零点的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
题型三、判断函数零点所在的大致区间
【例3】 方程$\log _{3} x+x=3$的解所在的区间为( )
A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【变式训练3】 根据表格中的数据,可以断定方程$e^{x}-2 x-5=0$的一个根所在的区间是( )
x
0
1
2
3
4
$e^{x}$
1
2.72
7.39
20.09
54.60
$2 x+5$
5
7
9
11
13
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
题型四、易混易错题
易错点 对函数零点的判定定理理解不透彻
【例4】 已知函数y=f(x)的图象在闭区间[a,b]上为一条连续的曲线,且$f(a) \cdot f(b)>0$,则函数f(x)在(a,b)内( )
A.肯定没有零点
B.至多有一个零点
C.可能有两个零点
D.以上说法均不正确
【变式训练4】函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
