对数的运算
2.了解对数的换底公式及其应用.
3.初步掌握对数在生活中的应用.
1.对数的运算性质
条件
a>0,且$a \neq 1, M>0, N>0$
性质
$\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N$
$\log a \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}=\log _{a} M-\log _{a} N$
$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M(n \in \mathbf{R})$
名师点拨一般情况下,当a>0,且a≠1,M>0,N>0时,$\log _{a}(M \cdot N) \neq\left(\log _{a} M\right)\left(\log _{a} N\right), \\ \log _{a}(M+N) \neq \log _{a} M+\log _{a} N$,
$\log a \frac{M}{N} \neq \frac{\log _{a} M}{\log _{a} N}$【做一做1-1】 $\lg 2+\lg 5$的值为( )
A.2 B.5
C.7 D.1
【做一做1-2】$\log _{3} 18-\log _{3} 2$的值为( )
A.$\log _{3} 16$ B.$\log _{3} 20$
C.$\log _{3} 36$ D.2
2.换底公式
$\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)
知识拓展
1.可用换底公式证明以下结论:(1)$\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$;(2)$\log _{a} b \cdot \log _{b} c \cdot \log _{c} a=1$;(3)$\log _{a^{n} b n}=\log _{a} b$;(4)$\log _{a^{n}} b m=\frac{m}{n} \log _{a} b$;(5)$\log _{\frac{1}{a}} b=-\log _{a} b$;
2.对换底公式的理解:换底公式真神奇,换成新底可任意,
原底加底变分母,真数加底变分子.
【做一做2】$\log _{2} 9 \cdot \log _{27} 8=$________。
对数的运算性质
剖析:(1)对数的运算性质是我们进行化简、求值及证明的依据,要灵活掌握,达到正用、逆用及变形用.
(2)使用对数运算性质的前提条件是$M>0, N>0, a>0$,且a≠1,没有上述条件,公式就不一定成立.如$\log _{2}[(-2) \times(-7)]$是存在的,但$\log _{2}(-2)$与$\log _{2}(-7)$不存在,故$\log _{2}[(-2) X(-7)] \neq \log _{2}(-2)+\log _{2}(-7)$。
(3)对数的运算性质与指数的运算性质的关系如下表(表中M>0,N>0,a>0,且a≠1).
式子
$a^{b}=N$
$\log _{a} N=b$
名称
a??幂的底数
b??幂的指数
N??幂
a??对数的底数
b??以a为底N的对数
N??真数
运算性质
$a^{m} a^{n}=a^{m+n}$
$\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{m}}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}}}=a m-n$
$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}$
$\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N$
$\log a \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}=\log _{a} M-\log _{a} N$
$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M$
题型一、化简、求值
【例1】 计算下列各式的值:
(1)$\log 2 \sqrt{\frac{7}{48}}+\log 212-\frac{1}{2} \log 242$
(2)$\lg 52+\frac{2}{3} \lg 8+\lg 5 \cdot \lg 20+(\lg 2)^{2}$
分析:利用对数的运算性质进行计算.
反思 对于同底的对数的化简,常用方法是:
(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差);
(3)“收”和“拆”相结合,如本题(2).
【变式训练1】 计算下列各式的值:
(1)$\frac{1}{2} \lg \frac{32}{49}-\frac{4}{3} \lg \sqrt{8}+\lg \sqrt{245}$
(2)$2 \log _{3} 2-\log 3 \frac{32}{9}+\log 38-5^{\log _{5} 3}$
题型二、换底公式的应用
【例2】 已知$\log _{18} 9=a, 18^{b}=5$,求$\log _{36} 45$.(用a,b表示)
【变式训练2】 计算下列各式的值:
(1)$\log _{8} 9 \cdot \log _{27} 32$
(2)$\left(\log _{4} 3+\log _{8} 3\right) \cdot \log _{3} 2$
题型三、对数的实际应用
【例3】 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的84%,估计经过多少年,该物质的剩余量是原来的一半?(结果保留整数)
反思 解有关对数应用问题的步骤:(1)审清题意,弄清各数据的含义;(2)恰当地设未知数,建立数学模型,即已知$a^{x}=N$(a,N是常数,且a>0,a≠1),求x;(3)利用换底公式借助计算器来解数学模型;(4)还原为实际问题,归纳结论,注意有时要检验结论是否符合实际意义.
【变式训练3】 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0)
题型四、易混易错题
易错点 忽略真数大于0致错
【例4】 已知$\lg x+\lg y=2 \lg (x-2 y)$,求$\frac{x}{y}$的值。
【变式训练4】 已知方程$\lg (x+1)+\lg x=\lg 6$,则x等于 ( )
A.-3 B.2
C.-3或2 D.3或-2