奇偶性
1.偶函数和奇函数
偶函数
奇函数
定义
条件
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
结论
函数f(x)叫做偶函数
函数f(x)叫做奇函数
图象
特征
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
名师点拨1.奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数;由于f(-x)与f(x)有意义,则-x与x同时属于定义域,即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)是偶函数?对定义域内任意一个x,有f(-x)-f(x)=0?f(x)的图象关于y轴对称.
3.函数f(x)是奇函数?对定义域内任意一个x,有f(-x)+f(x)=0?f(x)的图象关于原点对称.
【做一做1-1】 若函数$y=f(x), x \in[-1, a](a>-1)$是奇函数,则a等于( )
A.-1 B.0
C.1 D.无法确定
【做一做1-2】 下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是( )
A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x)
B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x)
C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x)
D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x)
2.奇偶性
定义
如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性
图象特征
图象关于原点或y轴对称
归纳总结基本函数的奇偶性如下:
函数
奇偶性
正比例函数$(y=k x, k \neq 0)$
反比例函$\left(y=\frac{k}{x}, k \neq 0\right)$
奇函数
一次函数$(y=k x+b, k \neq 0)$
$b=0$
奇函数
$b \neq 0$
非奇非偶函数
二次函数$\left(y=a x^{2}+b x+c, a \neq 0\right)$
$b=0$
偶函数
$b \neq 0$
非奇非偶函数
【做一做2-1】 函数y=x( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
【做一做2-2】 若函数$f(x)=x^{2}-2 m x+4$是偶函数,则实数m=_______.
理解函数的奇偶性
剖析:函数f(x)的奇偶性的定义是用f(-x)=±f(x)来刻画函数f(x)的图象的特征(图象关于原点或y轴对称)的;函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的局部性质,而奇偶性是函数的整体性质.只有对函数f(x)的定义域的每一个值x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),才能说f(x)为偶函数或奇函数;定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”成立,其前提为f(-x)和f(x)都有意义,所以-x也属于f(x)的定义域,即自变量x的取值要保持关于原点的对称性,于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集,这是函数存在奇偶性的前提.例如将函数$f(x)=x^{2}+1, f(x)=x$的定义域分别限定为(0,+∞)与(-3,3],那么它们都为非奇非偶函数;函数的奇偶性定义中的等式f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))是其定义域上的恒等式,而不是对部分x成立.
如:函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{1,|x| \leq 1} \\ {x+1,|x|>1}\end{array}\right.$
尽管当$|x| \leq 1$时,都有$f(-x)=f(x)$,但当$|x|>1$时,$f(-x) \neq f(x)$,所以它不是偶函数.
题型一、判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)$f(x)=\frac{2 x^{2}+2 x}{x+1}$,(2)$f(x)=x^{3}-2 x$
(3)$f(x)=\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$
反思
判断函数的奇偶性的方法:(1)定义法:
(2)图象法:如果函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数;如果函数的图象关于原点和y轴均对称,那么这个函数既是奇函数又是偶函数;如果函数的图象关于原点和y轴均不对称,那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数.
用以上方法讨论函数的奇偶性时,要遵循定义域优先的原则.
【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)$f(x)=x^{2}+1, x \in[-2,2)$;(2)$f(x)=|x-1|+|x+1|$;(3)$f(x)=0, x \in \mathbf{R}$
题型二、奇(偶)函数的图象问题
【例2】 已知函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$在区间$[0,+\infty)$内的图象如图所示,请在坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象,并说明作图依据.
反思利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
【变式训练2】
已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧图象如图所示,写出使f(x)>0的x的取值集合.
题型三、利用函数的奇偶性求参数
【例3】 已知函数$f(x)=(x+a)(x-4)$为偶函数,则实数a=________.
【变式训练3】 若函数$f(x)=a x^{2}+b x+3 a+b$是偶函数,定义域为$[a-1,2 a]$,则a=________,b=_______.
题型四、利用函数的奇偶性求函数的解析式
【例4】 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x < 0时,f(x)=x(1-x),求函数f(x)的解析式.题型五、易混易错题
易错点 分段函数奇偶性的判断【例5】 判断函数$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2}, x < 0} \\ {x^{3}, x \geq 0}\end{array}\right.$的奇偶性。
【变式训练5】 判断函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1), x \geq 0} \\ {-x(x+1), x < 0}\end{array}\right.$的奇偶性。
1.若f(x)是奇函数,且f(0)有意义,则f(0)=0;
2.已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式,求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时,首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可.
【变式训练4】 已知f(x)是R上的偶函数,当$x \in(0,+\infty)$时,$f(x)=x^{2}+x-1$,求当$x \in(-\infty, 0)$时,f(x)的解析式.