空间两点间的距离公式
2.掌握空间两点间的距离公式及其简单应用.
空间两点间的距离公式
空间中点$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$之间的距离
$\left|P_{1} P_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}$
【做一做】 在空间直角坐标系中,点$A(-3,4,0)$和点$B(2,-1,6)$间的距离是( )
A.2$\sqrt{43}$ B.2$\sqrt{21}$
C.9 D.$\sqrt{86}$
1.对空间两点间距离公式的两点说明
剖析:(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.
(2)若已知两点的坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间的距离求参数或点的坐标时,则应利用公式建立相应方程求解.
2.空间两点间距离的求解
剖析:(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的空间直角坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.一般遵循如下的步骤:
题型一、求空间中两点间的距离
【例1】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$|A B|=|A D|=3,\left|A A_{1}\right|=2$,点$M$在$A_{1} C_{1}$上,$\left|M C_{1}\right|=2 | A_{1} M$,点$N$在$D_{1} C$上且为$D_{1} C$的中点,求$M$,$N$两点间的距离.
反思
求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系,以确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般来说,要转化到平面中求解,有时也利用图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.
【变式训练1】 如图,在直三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,$\left|C_{1} C\right|=|C B|=|C A|=2, A C \perp C B, D, E$分别是棱$A B, B_{1} C_{1}$的中点,$F$是$AC$的中点,求$DE,EF$的长度.
题型二、两点间的距离公式的应用
【例2】 点P在x轴上,它到点$P_{1}(0, \sqrt{2}, 3)$的距离为到点$P 2(0,1,-1)$的距离的2倍,则点P的坐标是_______。
反思
空间两点间的距离公式是本小节的重点,也是将来在模块中继续学习空间直角坐标系的基础.应用两点间的距离公式列出方程,是求解此类问题的常用方法,体现了两点间距离公式的应用.
【变式训练2】 已知$A(1,-2,11), B(4,2,3), C(6,-1,4)$,试判断$\triangle A B C$的形状.