点到直线的距离
2.能利用点到直线的距离公式解决相关问题.
点到直线的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
图示
公式
点$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$到直线$l : A x+B y+C=0$的距离$d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
归纳总结:点到几种特殊直线的距离:
(1)点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$到$x$轴的距离$d=\left|y_{0}\right|$;
(2)点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$到$y$轴的距离$d=\left|x_{0}\right|$;
(3)点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$到直线$y=a$的距离$d=\left|y_{0}-a\right|$;
(4)点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$到直线$x=b$的距离$d=\left|x_{0}-b\right|$.
【做一做】 点$(1,-5)$到直线$2 x-y-2=0$的距离d=_______.
理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点间的最短距离.
(2)公式的形式是:分母是直线方程$A x+B y+C=0$的$x,y$项系数平方和的算术平方根,分子是用$x_{0}, y_{0}$替换直线方程中$x,y$所得实数的绝对值.要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.例如求$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$到直线$y=k x+b$的距离,应先把直线方程化为$k x-y+b=0$,得
$d=\frac{\left|k x_{0}-y_{0}+b\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}$
(3)当点$P_{0}$在直线$l$上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应用公式时不必判定点$P_{0}$与直线l的位置关系.
(4)直线方程$A x+B y+C=0$中$A=0$或$B=0$时,公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线的距离.
题型一、求点到直线的距离
【例1】 求点$P_{0}(-1,2)$到下列直线的距离:
(1)$2 x+y-10=0$;(2)$x=2$;(3)$y-1=0$.
反思
求点到直线的距离的步骤:
(1)将直线方程化为一般式$A x+B y+C=0$;
(2)将点$\left(x_{0}, y_{0}\right)$代入公式$d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$,计算可得
【变式训练1】 若点$P(a,2)$到直线$l : 6 x+8 y-2=0$的距离等于点$P$到直线$y+1=0$的距离,则$a=$_______.
题型二、点到直线的距离公式的应用
【例2】 求过点$A(2,1)$且与原点距离为2的直线方程.
反思
利用点到直线的距离公式,列方程求出与x轴不垂直时直线的斜率.这种用公式列方程(组)的方法是解析几何中的一种重要方法,在今后的学习中会经常用到.
本题容易漏掉直线$x=2$,用直线的点斜式求方程时,一定要注意斜率不存在的直线是否符合题意.
【变式训练2】 求过点$M(-2,1)$,且与$A(-1,2), B(3,0)$两点距离相等的直线$l$的方程.
题型三、易错辨析
易错点:求点到直线的距离时直线方程没有化成一般式而致错
【例3】 点$P(-1,4)$到直线$3x+4y=2$的距离$d=$________.
反思
求点到直线的距离时,务必将直线方程化为一般式$A x+B y+C=0$(A,B不同时为0),否则容易出错.