倾斜角与斜率
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握它们之间的关系.
3.掌握过两点的直线的斜率计算公式,并会简单的应用.
1、倾斜角
定义
当直线$l$与$x$轴相交时,取$x$轴作为基准,$x$轴正向与直线$l$向上方向之间所成的角$\alpha$叫做直线$l$的倾斜角。
规定
当直线l与x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为$0^{\circ}$;
记法
$\alpha$
图示
范围
$0^{\circ} \leqslant \alpha < 180^{\circ}$
作用
(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可
【做一做1】 如图,直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135° C.0° D.不存在
2.斜率(倾斜角为α)
定义
$\alpha \neq 90^{\circ}$
一条直线的倾斜角$\alpha$的正切值叫做这条直线的斜率
$\alpha=90^{\circ}$
斜率不存在
记法
$k=\tan \alpha$
范围
$R$
公式
经过两点$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$的直线的斜率公式为$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
作用
用实数反映平面直角坐标系内的直线的倾斜程度
归纳总结
1.当倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,并不是直线不存在,此时,直线垂直于x轴.
2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率.
3.直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当$0^{\circ} \leqslant \alpha < 90^{\circ}$时,斜率越大,直线的倾斜程度就越大;当$90^{\circ}<\alpha < 180^{\circ}$时,斜率越大,直线倾斜程度也越大.
4.$k>0 \Leftrightarrow 0^{\circ}<\alpha < 90^{\circ} ; $
$ k=0 \Leftrightarrow \alpha=0^{\circ} ; k < 0 \Leftrightarrow 90^{\circ}<\alpha < 180^{\circ}$;
k不存在$\Leftrightarrow \alpha=90^{\circ}$.【做一做2-1】 已知直线l的倾斜角α=30°,则其斜率k的值为( )
A.0 B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ C.1 D.$\sqrt{3}$
【做一做2-2】 已知$P_{1}(3,5), P_{2}(-1,-3)$,则直线$P_{1} P_{2}$的斜率$k$等于( )
A.2 B.1 C. $\frac{1}{2}$ D.不存在
1.倾斜角
剖析:(1)理解倾斜角的概念,需注意以下三个方面:①角的顶点是直线与x轴的交点;②角的一条边的方向是顶点指向x轴的正方向;③角的另一条边的方向是由顶点指向直线向上的方向.
(2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
(3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x轴正方向的倾斜程度.
(4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.
2.斜率公式
剖析:(1)直线的斜率公式表明直线相对于$x$轴正方向的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示,这比使用几何的方法先求倾斜角,再求斜率的方法简便.
(2)直线的斜率与直线上两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换,这就是说,如果分子是$y_{2}-y_{1}$,分母必须是$x_{2}-x_{1}$;反过来,如果分子是$y_{1}-y_{2}$,分母必须是$x_{1}-x_{2}$,即斜率
$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
(3)当$x_{1}=x_{2}$时,斜率不存在.
(4)用斜率公式时要一看,二用,三求值.一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则往下继续;二用,就是将点的坐标代入斜率公式;三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论.
3.已知直线的斜率求直线的倾斜角
剖析:本节中仅要求求特殊的倾斜角,因此突破方法是掌握特殊的斜率对应的倾斜角即可,其对应情况如下表所示.
斜率k
0
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
1
$\sqrt{3}$
不存在
$-\sqrt{3}$
-1
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
倾斜角$\alpha$
$0^{\circ}$
$30^{\circ}$
$45^{\circ}$
$60^{\circ}$
$90^{\circ}$
$120^{\circ}$
$135^{\circ}$
$150^{\circ}$
由上表可见,当直线的斜率$k=0, \pm \frac{\sqrt{3}}{3}, \pm 1, \pm \sqrt{3}$或$k$不存在时,其倾斜角均是特殊角.
题型一、直线的倾斜角和斜率
【例1】 求经过下列两点的直线的斜率,并根据斜率指出其倾斜角.
(1)$(-3,0),(-2, \sqrt{3})$;
(2)$(1,-2),(5,-2)$;
(3)$(3,4),(-2,9)$;
(4)$(3,0),(3, \sqrt{3})$;
反思
已知两点$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$,求倾斜角和斜率的步骤:(1)当$x_{1}=x_{2}$时,倾斜角$\alpha=90^{\circ}$,斜率不存在;(2)当$x_{1} \neq x_{2}$时,先求斜率$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$,再根据$k$的值确定倾斜角$\alpha$的大小.【变式训练1】 已知过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为135°,则y=_____.
题型二、三点共线问题
【例2】 若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k=_______.
反思
用斜率解决三点共线问题的依据是:$A,B,C$三点共线$\Leftrightarrow k_{A B}=k_{B C}\left(k_{A B}=k_{A C}\right)$.【变式训练2】 已知三点$A(0, a), B(2,3), C(4,5 a)$在同一条直线上,则a=________.
题型三、已知一个点和斜率画直线
【例3】 在平面直角坐标系中,画出经过点$P(2,1)$且斜率分别为$0,1$的直线$l_{1}, l_{2}$.
反思
已知过点$P(m, n)$,且斜率为$k$的直线$l$,在平面直角坐标系中画直线$l$的步骤:(1)设$Q\left(x_{0}, y_{0}\right)$是直线$l$上的一点;(2)利用斜率公式得$k=\frac{y_{0}-n}{x_{0}-m}$;(3)整理得$y_{0}=k\left(x_{0}-m\right)+n$,取$x_{0}=0$(或$y_{0}=0$)解得$y_{0}$(或$x_{0}$)的值,得点$Q$的坐标$\left(0, y_{0}\right)$[或($\left(x_{0}, 0\right)$)];(4)在平面直角坐标系中,描出点$P$和$Q$,过点$P$,$Q$的直线就是所要画的直线$l$.
【变式训练3】 在平面直角坐标系中,画出经过点$P(2,2)$且斜率分别为1,3的直线$l_{1}, l_{2}$.
题型四、易错辨析
易错点:忽视斜率不存在的情况而致错
【例4】 求过点A(0,2)和点B(m,-2)的直线的斜率.