直线的点斜式方程
2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.
3.会求直线的点斜式方程与斜截式方程.
1.直线的点斜式方程
(1)定义:如图,直线$l$过定点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,斜率为$k$,则把方程$y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right)$叫做直线$l$的点斜式方程,简称点斜式.
(2)说明:①如图甲,过定点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,倾斜角是$0^{\circ}$的直线$l$与$x$轴平行或重合,其方程为$y-y_{0}=0$或$y=y_{0}$.
②如图乙,过定点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,倾斜角是$90^{\circ}$的直线不能用点斜式表示,其方程为$x-x_{0}=0$或$x=x_{0}$.
【做一做1】 若直线l的点斜式方程是$y-2=3(x+1)$,则直线$l$的斜率是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3
2.直线的斜截式方程
定义:如图,直线l的斜率为$k$,且与$y$轴的交点为$(0, b)$,则方程$y=k x+b$叫做直线$l$的斜截式方程,简称斜截式.
名师点拨1.b是直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标,它叫做直线l在y轴上的截距.它可能是正数,也可能是负数,还可能是0.要注意截距不是距离.倾斜角是90°的直线没有斜截式方程.2.斜截式方程的几种特殊情况:
方程
说明
b=0
y=kx
表示过原点的直线
k=0,b≠0
y=b
表示与x轴平行的直线
k=0,b=0
y=0
表示x轴
3.斜截式方程与一次函数解析式的关系.
斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是$y=k x+b$的形式,但有区别.当$k \neq 0$时,$y=k x+b$即为一次函数,一次函数$y=k x+b(k \neq 0)$必是一条直线的斜截式方程;当$k=0$时,$y=b$不是一次函数.
【做一做2】 已知直线的倾斜角为45°,在y轴上的截距为2,则此直线方程为( )
A.y=x+2 B.y=x-2
C.y=-x+2 D.y=-x-2
1.理解直线的点斜式方程
剖析直线的点斜式方程是由直线上任意一点和直线的斜率确定的,建立点斜式的依据是过直线上一个定点与另外任意一点的直线是唯一的,它由过两点的直线的斜率公式$\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=k$推导而来,但应当注意$\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=k$与$y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right)$的区别是前者不包含点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,后者包含点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$.点斜式的最大特点是由方程能直接看出其斜率及直线经过的一个点.
2.直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别
剖析在直线的点斜式方程$y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right)$中,$(x, y)$是直线上任意一点的坐标,$\left(x_{0}, y_{0}\right)$是直线上的一个定点,$k$是直线的斜率;在直线的斜截式方程$y=k x+b$中,$(x, y)$是直线上任意一点的坐标,$k$是直线的斜率,$b$是直线在$y$轴上的截距,即过点$(0,b)$.
联系:直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式,都可以看成直线上任意一点$(x,y)$的横坐标$x$和纵坐标$y$之间的关系等式,即都表示直线.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况.
区别:直线的点斜式方程是用直线的斜率$k$和直线上一定点的坐标$\left(x_{0}, y_{0}\right)$来表示的,同一条直线的点斜式方程有无数个;直线的斜截式方程是用直线的斜率$k$和该直线在$y$轴上的截距$b$来表示的,同一条直线的斜截式方程是唯一的.
题型一、求直线的点斜式方程
【例1】 写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点$A(2,5)$,斜率是4;
(2)经过点$B(2,3)$,倾斜角是45°;
(3)经过点$C(-1,-1)$,与x轴平行.
【变式训练1】 写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点$(-4,1)$,且斜率是直线$y-3=2(x+1)$斜率的一半;
(2)经过点$(2,-1)$,且倾斜角是$150^{\circ}$;
(3)经过点$(3,-2)$,且垂直于$y$轴的直线.
题型二、求直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距为5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距为-2.
反思
已知直线的斜率和与y轴交点的坐标时,用斜截式写出直线的方程,比用直线的点斜式方程更方便.
【变式训练2】 直线$l$与直线$l_{1} : y=2 x+6$在$y$轴上有相同的截距,且$l$的斜率与$l_{1}$的斜率互为相反数,则直线l的斜截式方程为_______.题型三、利用两条直线的方程判断其平行和垂直
【例3】 判断下列两条直线平行还是垂直:
(1)$l_{1} : y-2=3(x+1), l_{2} : y=3 x$
(2)$l_{1} : y=6 x-1, l_{2} : y=-\frac{1}{6} x-1$
(3)$l_{1} : x+3=0, l_{2} : x-2=0$
反思
已知两条直线的方程,判断它们平行或垂直时,先确定它们的斜率是否存在再判断.若斜率不存在,则可通过画图来判断;若斜率都存在,则把方程都化为斜截式,$l_{1} : y=k_{1} x+b_{1}, l_{2} : y=k_{2} x+b_{2}$,当$k_{1}=k_{2}$,且$b_{1} \neq b_{2}$时,$l_{1} \| l_{2}$;当$k_{1}=k_{2}$,且$b_{1}=b_{2}$时,$l_{1}$与$l_{2}$重合;当$k_{1} k_{2}=-1$时,$l_{1} \perp l_{2}$.【变式训练3】
(1)已知直线$y=a x-2$和$y=-\frac{a}{2} x+1$,则$a=$________.
(2)若直线$l_{1} : y=-\frac{2}{a} x-\frac{1}{a}$与直线$l_{2} : y=3 x-1$互相平行,则$a=$________.
题型四、易错辨析
易错点:平行条件转化不等价而致错【例4】 当$a$为何值时,直线$l_{1} : y=-x+2 a$与直线$l_{2} : y=\left(a^{2}-2\right) x+2$平行?