直线的两点式方程
2.会选择适当的方程形式求直线方程.
3.能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图,直线$l$经过点$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$(其中$x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}$),则方程$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$叫做直线$l$的两点式方程,简称两点式。
(2)说明:与坐标轴垂直的直线不能用两点式方程表示.
归纳总结
直线的两点式方程应用的前提条件是:$x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}$,即直线的斜率不存在或斜率为零时,都不能用两点式方程.
当$x_{1}=x_{2}$时,直线方程为$x=x_{1}$;
当$y_{1}=y_{2}$时,直线方程为$y=y_{1}$.
【做一做1】 经过点$A(5,6)$和点$B(-1,2)$的直线的两点式方程是( )
A.$\frac{y-5}{x-6}=\frac{y+1}{x-2}$
B.$\frac{y-6}{2-6}=\frac{x-5}{-1-5}$
C.$\frac{2-6}{y-6}=\frac{-1-5}{x-5}$
D.$\frac{x-6}{2-6}=\frac{y-5}{-1-5}$
2.直线的截距式方程
(1)定义:如图,直线l与两个坐标轴的交点分别是$P_{1}(a, 0), P_{2}(0, b)$(其中$a \neq 0, b \neq 0$),则方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$叫做直线$l$的截距式方程。
(2)说明:一条直线与$x$轴的交点$(a,0)$的横坐标$a$叫做直线在$x$轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均不能用截距式表示.【做一做2】 在x轴、y轴上的截距分别为-3,4的直线方程是( )
A.$\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}=1$ B.$\frac{x}{3}+\frac{y}{-4}=1$
C.$\frac{x}{-3}-\frac{y}{4}=1$ D.$\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1$
3.中点坐标公式
若点$P1,P2$的坐标分别为$\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$,且线段$P_{1} P_{2}$的中点$M$的坐标为$(x,y)$,则有
此公式为线段$P_{1} P_{2}$的中点坐标公式.
【做一做3】 若点$P_{1}(5,-2)$,点$P_{2}(-7,6)$,则线段$P_{1} P_{2}$的中点$M$的坐标为______.
1.理解直线的两点式方程
剖析:(1)对于直线方程的两点式$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x_{-} x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$,两点的坐标哪一个为$\left(x_{1}, y_{1}\right)$,哪一个为$\left(x_{2}, y_{2}\right)$,并不影响最终的结果,但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横、纵坐标.
(2)要注意方程$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$和方程$\left(y-y_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)=\left(x-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)$的形式不同,适用范围也不同.前者为分式形式方程,形式对称,但不能表示垂直于坐标轴的直线.后者为整式形式方程,适用于过任何两点的直线方程.
2.理解直线的截距式方程
剖析:(1)截距式是两点式的特例,当已知直线上的两点分别是直线与两个坐标轴的交点$(a, 0),(0, b)(a b \neq 0)$时,由两点式可得直线方程的形式$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a b \neq 0)$),即为截距式.用截距式可以很方便地画出直线.
(2)直线方程的截距式在上的特点:
直线方程的截距式为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$,x项对应的分母是直线在x轴上的截距,y项对应的分母是直线在y轴上的截距,中间以“+”相连,等式的另一端是1,由方程可以直接读出直线在两个坐标轴上的截距.
3.求直线方程时方程形式的选择技巧
剖析:一般地,已知一点的坐标,求过该点的直线方程时,通常选用点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率;已知直线的斜率,通常选用点斜式或斜截式方程,再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距;已知直线在两个坐标轴上的截距时,通常选用截距式方程;已知直线上的两点时,通常选用两点式方程.不论选用哪种形式的方程,都要注意各自的限制条件,以免漏掉一些特殊情况下的直线.
题型一、利用两点式求直线方程
【例1】 已知三角形的三个顶点$A(-4,0), B(0,-3), C(-2,1)$,求:
(1)$BC$边所在直线的方程;
(2)$BC$边上中线所在直线的方程.
反思
已知两点求直线的方程,可利用两点式直接写出其方程;求中线所在的直线方程,联想到中点坐标公式即可求出中点.在没有特殊要求的条件下,以后求出的直线方程化为$A x+B y+C=0$的形式,且尽量满足:①$A>0$;②$A,B,C$均是整数时,最大公约数为1.
【变式训练1】 已知$\triangle A B C$的三个顶点坐标分别为$A(2,-1), B(2,2), C(4,1)$,求三角形三条边所在直线的方程.
题型二、利用截距式求直线方程
【例2】 已知直线与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,且线段$AB$的中点为$P(4,1)$,求直线l的方程.反思
在涉及直线在两个坐标轴上的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两个截距的方程,解得截距的值,从而确定方程.
【变式训练2】 一条直线经过点$A(-2,2)$,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线的方程.
题型三、易错辨析
易错点:忽视截距为0的情形而致错
【例3】 已知直线l过点$P(2,-1)$,且在两个坐标轴上的截距相等,求直线$l$的方程.
反思
截距式方程中的$a \neq 0, b \neq 0$,即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程.注意在两个坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程.