概率的基本性质

时间:2019/9/9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.理解、掌握事件间的包含关系和相等关系.
2.掌握事件的交、并运算,理解互斥事件和对立事件的概念及关系.
3.掌握概率的性质,并能用它解决有关问题.
知识点
  • 1.事件的关系

    (1)包含关系.

    定义

    一般地,对于事件A与事件B,如果事件A____,则事件B一定____,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

    符号

    ____(或____)

    图示

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    (2)相等关系. 

    定义

    一般地,若____,且____,那么称事件A与事件B相等

    符号

    A=B

    图示

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    归纳总结
    1.对事件的包含关系的理解:

    (1)不可能事件记作$\varnothing$,显然$C \supseteq \varnothing$(C为任一事件);

    (2)事件$A$也包含于事件$A$,即$A \subseteq A$;

    (3)事件$B$包含事件$A$,其含义就是事件$A$发生,事件$B$一定发生,而事件$B$发生,事件$A$不一定发生.

    2.对事件的相等关系的理解:

    (1)两个相等事件总是同时发生或同时不发生;

    (2)所谓$A=B$,就是$A,B$是同一事件;

    (3)在验证两个事件是否相等时,常用到事件相等的定义.

    【做一做1】 同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件$M$,向上面至少有一枚是正面为事件$N$,则有(  )

    $\mathrm{A} . M \subseteq N$  $\mathrm{B} \cdot M \supseteq N$

    $C . M=N$   $\mathrm{D} . M < N$

    答案:$A$

  • 2.事件的运算

    (1)并事件.

    定义

    若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件C为事件A与事件B____(或____)

    符号

    C=____(或____)

    图示

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    (2)交事件

    定义

    若某事件C发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件C为事件A与事件B____(或____)

    符号

    C=____(或____)

    图示

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    归纳总结
    1.对并(和)事件的理解:

    (1)可与集合的并集类比.

    (2)$A \cup B=B \cup A$.

    (3)包含三层含义:$A$发生$B$不发生;$A$不发生$B$发生;$A,B$同时发生.

    2.对交(积)事件的理解:

    (1)可与集合的交集类比.

    (2)$A \cap B=B \cap A$.

    (3)$A$与$B$同时发生.

     

    (3)互斥事件. 

    定义

    若$A \cap B$为________,则称事件$A$与事件$B$互斥

    符号

    $A \cap B=\varnothing$

    图示

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  • 归纳总结
    如果事件$A$与事件$B$是互斥事件,那么$A$与$B$这两个事件同时发生的概率为0.

    (4)对立事件. 

    定义

    若$A \cap B$为_______事件,$A \cup B$为_______事件,则称事件A与事件B互为对立事件

    符号

    $A \cap B=\varnothing, A \cup B=\Omega$

    图示

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    归纳总结
    1.对立事件的特征:在一次试验中,不会同时发生,且必有一个事件发生.

    2.对立事件是特殊的互斥事件,即对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.

    3.从集合角度看,事件A的对立事件,是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集.

    【做一做2-1】 抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件$P=${向上的点数是1},事件$Q=${向上的点数是3或4},$M=${向上的点数是1或3},则$P \cup Q=$,M∩Q=______________.$M \cap Q=$_____________

    答案:{向上的点数是1或3或4} {向上的点数是3}

    【做一做2-2】 在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是______________. 

    答案:至少有一件是二级品

  • 3.概率的性质

    (1)任何事件的概率$P(A) \in [0,1].$

    (2)必然事件的概率$P(A)=1$.

    (3)不可能事件的概率$P(A)=0$.

    (4)如果事件A与事件B互斥,那么$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

    归纳总结
    1.事件A与事件B互斥,如果没有这一条件,加法公式将不能应用.

    2.如果事件$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$彼此互斥,那么$P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right) \\ =P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+\cdots+P\left(A_{n}\right)$
    ,即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和.

    (5)若事件A与事件B互为对立事件,则$A \cup B$为必然事件,

    $P(A \cup B)=P(A)+P(B)=1$.

    归纳总结
    公式使用的前提必须是对立事件,否则不能使用此公式

    【做一做3-1】 已知事件A与B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于(  )

    A.0.4  B.0.5  C.0.6  D.1

    【做一做3-2】 已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,且A与B是互斥事件,则P(A∪B)=________.

重难点
  • 若事件A与事件B不互斥,则P(A∪B)≠P(A)+P(B)

    剖析:否定一个等式不成立,只需举出一个反例即可.

    例如:抛掷一枚均匀的正方体骰子,向上的点数是1或2或3或4或5或6为事件A,且A=B,则A∪B表示向上的点数是1或2或3或4或5或6,P(A)=P(B)=P(A∪B)=1,P(A)+P(B)=1+1=2,

    所以此时P(A∪B)≠P(A)+P(B),即P(A∪B)=P(A)+P(B)不成立.

    上例中P(A∪B)≠P(A)+P(B)的原因是事件A与事件B不是互斥事件.

    其实对于任意事件A与B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)(不要求证明也不要求会用),当且仅当A∩B=?,即事件A与事件B是互斥事件时,P(A∩B)=0,此时才有P(A∪B)=P(A)+P(B)成立.

例题解析
  • 题型一、判断互斥(对立)事件

    【例1】 判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由.

    某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:

    (1)恰有1名男生和恰有2名男生;

    (2)至少有1名男生和至少有1名女生;

    (3)至少有1名男生和全是女生.

    反思

    判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.

    【变式训练1】 某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅,记事件A表示“只订甲报刊”,事件B表示“至少订一种报刊”,事件C表示“至多订一种报刊”,事件D表示“不订甲报刊”,事件E表示“一种报刊也不订”.判断下列事件是不是互斥事件,若是,再判断是不是对立事件.

    (1)A与C;(2)B与E;(3)B与D.

  • 题型二、事件的关系及运算

    【例2】 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球、2个白球},事件B={3个球中有2个红球、1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.

    (1)事件D与A,B是什么运算关系?

    (2)事件C与A的交事件是什么事件?

    反思

    1.进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.

    2.在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.

    【变式训练2】 在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与A,B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?

  • 题型三、概率加法公式的应用

    【例3】 某射箭运动员在一次训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射箭运动员在一次射击中:

    (1)射中10环或7环的概率;

    (2)射中7环以下的概率.

    反思

    求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并;二是先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.

    【变式训练3】 在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07,计算:

    (1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率;

    (2)小明考试及格的概率.

  • 题型四、易错辨析

    易错点:不能区分事件是否互斥,而错用加法公式

    【例4】 抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率是 $\frac{1}{6}$,记事件A为“出现奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,求$P(A \cup B)$.

    【变式训练4】 玻璃盒子里装有各种颜色的球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1球.记事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知$P(A)=\frac{5}{12}, P(B)=\frac{1}{3}, P(C)=\frac{1}{6}, P(D)=\frac{1}{12}$。

    求:(1)“取出1球为红球或黑球”的概率;

    (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.

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