变量间的相关关系

时间:2019/9/9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义.
2.会作散点图,能判断两个变量之间是否具有相关关系.
3.会求回归直线方程,并能用回归直线方程解决有关问题.
知识点
  • 1.相关关系

    (1)定义:如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定的_____性,那么这两个变量之间的关系叫做相关关系.

    (2)两类特殊的相关关系:如果散点图中点的分布是从_____角到右上角的区域,那么这两个变量的相关关系称为正相关.如果散点图中点的分布是从_____角到_____角的区域,那么这两个变量的相关关系称为负相关.

    归纳总结
    两个变量间的关系分为三类:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长与面积的关系;另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的,这种关系就是相关关系,例如,某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系;再一类是不相关,即两个变量间没有任何关系.

    【做一做1】 观察下列散点图,①正相关,②负相关,③不相关.与下列图形相对应的是(  )

    blob.png

    $A.①②③$ $B.②③①$

    $C.②①③$ $D.①③②$

    答案:$D$

  • 2.线性相关

    (1)定义:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条_____附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做_______.

    (2)最小二乘法:求线性回归直线方程$\hat{y}=\hat{\mathrm{b}} x+\hat{a}$时,使得样本数据

    的点到它的______________最小的方法叫做最小二乘法,其中$\hat{a}, \hat{b}$ 的值由以下公式给出:

    blob.png

    其中,$\hat{b}$是回归方程的________, $\hat{a}$是回归方程在$y$轴上的________.

    名师点拨

    1.$\hat{b}$代表x每增加一个单位,$y$平均增加的单位数.

    2.当$\hat{b}>0$时,说明两个变量呈正相关关系;当$\hat{b} < 0$时,说明两个变量呈负相关关系.

    【做一做2】 若在一次试验中,测得$(x, y)$的四组数值分别是$A(1,3),B(2,3.8),C(3,5.2),D(4,6)$,则$y$与$x$之间的回归直线方程是(  )

    $A.$$\hat{y}=x+1.9$           $B.$$\hat{y}=1.04 x+1.9$

    $C.$$\hat{y}=0.95 x+1.04 D$      $D.$$\hat{y}=1.05 x-0.9$

    答案:$B$ 

重难点
  • 1.散点图

    剖析:(1)将样本中的n个数据对$\left(x_{i} y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$)表示的点描在平面直角坐标系中,所得图形叫做散点图.

    (2)散点图形象地反映了各对数据的密切程度.根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系,可直观地判断并得出结论.

  • 2.回归直线的性质

    剖析:(1)若$\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$为样本数据,则$(\overline{x}, \overline{y})$为样本点的中心,回归直线一定过样本点的中心.

    (2)如果样本数据对应的点具有线性相关关系,从回归直线方程来

    看,当系数$\hat{b}>0$时,这两个变量正相关;当$\hat{\mathrm{b}} < 0$时,这两个变量负相关.

例题解析
  • 判断相关关系

    【例1】 若变量x,y有如下的数据:


    $\mathcal{Y}$

    $x$

    151

    152

    153

    154

    156

    157

    158

    159

    160

    162

    163

    164

    40

    41

    41

    41.5

    42

    42.5

    43

    44

    45

    45

    46

    45.5

    (1)画出散点图.

    (2)判断变量$x,y$是否具有相关关系,如果具有相关关系,那么是正相关还是负相关?

    分析:对于给定一组观察数据,可以借助作散点图来判断两个变量是否具有线性相关性.

    反思

    两个随机变量$x$和$y$是否具有相关关系的判断方法:

    (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断(如本题);

    (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断;

    (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.

    【变式训练1】 以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格$\mathcal{y}$(单位:万元)和房屋面积$x$(单位:$m^{2}$)的数据:

    房屋面积$x$

    115

    110

    80

    135

    105

    销售价格$\mathcal{Y}$

    49.6

    43.2

    38.8

    58.4

    44

    判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有线性相关关系,如果有线性相关关系,是正相关还是负相关?

    反思1.用公式求回归直线方程的一般步骤是:

    (1)列表.

    (2)计算blob.png

    (3)代入公式计算$\hat{b}, \hat{a}$的值.

    (4)写出回归直线方程.

    2.求回归直线方程时应注意的问题:

    (1)用公式计算$\hat{a}, \hat{b}$的值时,要先算出 $\hat{b}$,再算出$\hat{a}$ .

    (2)使用计算器能大大简化手工的计算,迅速得出正确的结果,但输入数据时要细心,不能出任何差错;不同计算器的按键方式可能不同,可参考计算器的使用说明书进行相关的计算.

  • 【变式训练2】 某企业某产品产量$x$与单位成本$y$的资料如下表,作出散点图,并求出$y$关于$x$的回归方程.

    月份

    产量/

    单位成本/(元/件)

    1

    2

    73

    2

    3

    72

    3

    4

    71

    4

    3

    73

    5

    4

    69

    6

    5

    68

  • 线性回归分析的应用

    【例3】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量$x$(单位:吨)与相应的生产能耗$y$(单位:吨标准煤)的几组对照数据:


    $x$

    3

    4

    5

    6

    $y$

    2.5

    3

    4

    4.5

    (1)请画出上表数据的散点图;

    (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出$y$关于$x$的线性回归方程 $\hat{y}=\hat{\mathrm{b}} x+\hat{a}$

    (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?

    (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

    分析:(1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为纵坐标,在平面直角坐标系内画出散点图;(2)应用计算公式求得线性相关系$\hat{b}, \hat{a}$的值;(3)实际上就是求当$x=100$时,对应的$y$的值.

    反思
    利用回归方程可以对总体进行估计,如回归方程为$\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ .当$x=x 0$时估计值为$\hat{y}_{0}=\hat{b} x 0+\hat{a}$.

    【变式训练3】 一台机器由于使用时间较长(但还可以使用),它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化,下表是抽样试验的结果:


    转速$x /$(转/秒)$\left(x \in \mathbf{N}^{*}\right)$

    16

    14

    12

    8

    每小时生产有缺点的零件数$y/$件

    11

    9

    8

    (1)若$y$与$x$具有线性相关关系,求回归方程.

    (2)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个,则机器的转速应该控制在什么范围内?

  • 易错辨析

    易错点:对相关关系的概念理解错误

    【例4】 下列变量之间的关系属于相关关系的是(  )

    A.fun88网上娱乐的周长和它的半径之间的关系

    B.价格不变的条件下,商品销售额与销售量之间的关系

    C.家庭收入越多,其消费支出也有增长的趋势

    D.正方形面积和它的边长之间的关系

    【变式训练4】 由一组样本数据$\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$得到的回归直线方程为$\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ ,则下列说法不正确的是(  )

    A.直线$\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$必经过点$(\overline{x}, \overline{y})$

    B.直线$\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 至少经过点$(x 1, y 1),(x 2, y 2), \ldots,(x n, y n)$)中的一个

    C.直线$\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$的斜率为blob.png

    D.直线$\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$和各点$(x 1, y 1),(x 2, y 2), \ldots,(x n, y n)$的偏差 blob.png是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差

    最小的直线

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