平面几何中的向量方法
2.掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
1.要点
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.
归纳总结
平面几何中的向量方法:
(1)证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模.
(2)证明线段、直线平行,转化为证明向量平行.
(3)证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直.
(4)几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题.
(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题.
【做一做】
如图,已知?ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线,求证:AC⊥BD.
1.用向量处理问题时,选择平面向量基底的基本原则
剖析:平面内任意不共线的两个向量都可作为一组基底,因此在图形中选择不共线的两个向量即可.但是在具体的解题过程中,通常不会随便取不共线的两个向量作为基底.选择适当的基向量,会减少计算量.
选择适当的基向量的基本原则:
(1)不共线;
(2)基向量的长度最好是确定的;
(3)基向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
2.用向量的坐标处理问题时,建立平面直角坐标系的基本原则
剖析:选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量,也会带来不必要的麻烦.
具有公共原点的两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,因此在已知图形中,只要选择互相垂直的两条直线为坐标轴就能建立直角坐标系,但是又不能随便选择坐标轴,选择的基本原则是:
(1)尽量用已知图形中两个互相垂直的向量所在的直线为坐标轴;
(2)尽量选择已知图形中某一特殊点为原点;
(3)位于坐标轴上的已知点越多越好.
题型一、平行问题
【例1】 如图,已知AC,BD是梯形ABCD的对角线,E,F分别是BD,AC的中点.求证:$E F / / B C$.
反思
用向量法证明$A B / / C D$的步骤:(1)选择一组基底;(2)用基底表示$\overrightarrow{A B}$和$\overrightarrow{C D}$;(3)确定$\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{C D}$中的$\lambda$值,即有$\overrightarrow{A B} \| \overrightarrow{C D}$;(4)归纳总结.
题型二、垂直问题
【例2】 在$\triangle A B C$中,$A B=A C, D$为$BC$的中点,用向量方法证明$A D \perp B C$.
反思
用向量法证明$A B \perp C D$的步骤:(1)选择一组基底;(2)用基底表示$\overrightarrow{A B}$和$\overrightarrow{C D}$;(3)证明$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}$的值为0;(4)归纳结论.
【变式训练1】
如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点.求证:AF⊥DE(利用向量证明).
题型三、长度问题
如图,已知在?ABCD中,$A B=3, A D=1, \angle D A B=\frac{\pi}{3}$,求对角线AC和BD的长.
反思
用向量法求平面内A,B两点间的距离的步骤:(1)选取一组基底a,b;(2)用基底a,b表示$\overrightarrow{A B}$,即$\overrightarrow{A B}=x \mathbf{a}+y \mathbf{b}$;(3)利用$|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{|\overrightarrow{A B}|^{2}}=\sqrt{(x a+y b)^{2}}$ 求得$|\overrightarrow{A B}|$;(4)归纳结论.
【变式训练2】 用向量法证明:在?ABCD中,$A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right)$.
题型四、易错辨析
易错点 混淆向量平行与直线平行致错
【例4】 已知点$A(0,1), B(1,0), C(-1,2), D(2,-1)$,问$AB$与$CD$平行吗?
反思
当$\overrightarrow{A B} \| \overrightarrow{C D}$时,直线$AB$与直线$CD$可能平行,还可能重合,当且仅当$\overrightarrow{A B} \| \overrightarrow{C D}$,且$A,B,C,D$中任三点不共线时,直线$A B / /$直线$CD$.