平面向量的实际背景及基本概念
2.理解向量的概念,掌握向量的几何表示.
3.掌握并能判断相等向量和共线向量.
1.概念
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量,如力,位移等.
(2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等.
名师点拨向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向;数量之间可以比较大小,而向量之间不能比较大小.
(3)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以$A$为起点、$B$为终点的有向线段记作($\overrightarrow{A B}$) (如图),线段AB的长度也叫做有向线段$\overrightarrow{A B}$的长度,记作$|\overrightarrow{A B}|$.书写有向线段时,起点写在终点的前面,上面标上箭头.
(4)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定.
【做一做1】 下列量中是向量的是( )
A.长度 B.身高 C.速度 D.面积
答案:C
2.向量的表示法
(1)几何表示:用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向,向量的大小就是向量的长度(或称模),如向量$\overrightarrow{A B}$的长度记作$|\overrightarrow{A B}|$.
(2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,书写时,可写成带箭头的小写字母$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \ldots$,还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以A为起点,以B为终点的向量记为$\overrightarrow{A B}$.
【做一做2】 已知向量a如图,下列说法不正确的是( )
A.也可以用$\overrightarrow{M N}$表示 B.方向是由M指向N
C.起点是M D.终点是M
答案:D
3.有关概念
名称
定义
记法
零向量
长度为0的向量叫做零向量
0
单位
向量
长度等于1个单位的向量,叫做单位向量
相等
向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
a=b
说明:任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量
平行
向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
a∥b
规定:零向量与任何向量都平行
0∥a
说明:任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫共线向量
归纳总结
1.共线向量所在的直线平行或重合.如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是平行向量.
2.在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.
【做一做3-1】 单位向量的长度等于( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
答案:B
【做一做3-2】 如图,在平行四边形ABCD中,与$\overrightarrow{A B}$共线的向量有 .
答案:$\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{C D}$
1.向量和有向线段的区别与联系
剖析:向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段.它们的联系是向量可以用有向线段来表示,这条有向线段的长度就是向量的长度,有向线段的方向就是向量的方向.它们的区别是向量可以自由移动,故当用有向线段来表示向量时,有向线段的起点是任意的.而有向线段是不能自由移动的,有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段仅仅是向量的直观体现,是向量的一种表现形式,不能等同于向量;有向线段有平行和共线之分,而向量的平行和共线是相同的,是同一个概念.
2.数学中的向量是自由向量
剖析:根据相等向量的定义来分析,两个非零向量只有当它们的模相等,同时方向相同时,才能称它们相等.任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,所以向量只有大小和方向两个要素,是自由向量.
例如,五个人站成一排,同时向前走一步(假设每个人的步子都一样大),则每个人都有一个位移,这五个位移都相等,是相等向量.对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以自由平行移动的.因为在用有向线段表示向量时,可以自由选择起点,所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上.
题型一、向量的有关概念
【例1】 下列说法正确的是( )
A.$\overrightarrow{A B} \| \overrightarrow{C D}$就是$\overrightarrow{A B}$所在的直线平行于$\overrightarrow{C D}$所在的直线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
反思
1.对向量有关概念的理解要全面、准确,要注意相等向量、共线向量之间的区别和联系.
2.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义.
3.零向量是与任一向量共线的,因此,向量共线不具有传递性.
【变式训练1】 下列命题正确的是( )
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
题型二、在图形中找出相等向量或共线向量
【例2】 如图,四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.
(1)写出与向量$\overrightarrow{A B}$共线的向量;
(2)写出与向量$\overrightarrow{A B}$相等的向量.
分析:寻找共线向量时,只需要考虑线段的方向,不需要考虑线段的长度;寻找相等向量时,需要考虑线段的长度和方向.
反思
1.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
2.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
【变式训练2】
(1)如图,四边形ABCD,其中$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$,则相等的向量是( )
A.$\overrightarrow{A D}$与$\overrightarrow{C B}$
B.$\overrightarrow{O A}$与$\overrightarrow{O C}$
C.$\overrightarrow{A C}$与$\overrightarrow{D B}$
D.$\overrightarrow{D O}$与$\overrightarrow{O B}$
(2)如图,D,E,F分别是等腰直角三角形ABC各边的中点,$\angle B A C=90^{\circ}$.
①写出图中与$\overrightarrow{D E}, \overrightarrow{F D}$长度相等的向量;
②分别写出图中与向量$\overrightarrow{D E}, \overrightarrow{F D}$共线的向量.
题型三、画出实际问题中的向量
【例3】 一辆汽车从点A出发向西行驶了100 km到达点B,然后又改变方向向西偏北50°行驶了200 km到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达点D.
(1)作出向量$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}$;
(2)求$|\overrightarrow{A D}|$。
分析先根据行驶方向和距离作出向量,再求解.
反思
在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
【变式训练3】 已知飞机从A地按北偏东$30^{\circ}$方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东$30^{\circ}$方向飞行2 000 km到达C地,最后从C地按西南方向飞行1000$\sqrt{2} \mathrm{km}$到达D地.画图表示向量$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}$,并指出向量(AD) ?的模和方向.
题型四、易错辨析
易错点 混淆向量的有关概念而致错
【例4】 下列语句:
①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;
③两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
④向量$\overrightarrow{A B}$与向量$\overrightarrow{C D}$是共线向量,则点$A,B,C,D$必在同一条直线上;
⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段.
其中说法错误的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
反思
对向量有关概念的理解要严谨、准确,要特别注意向量不同于数量,它既有大小又有方向,且方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说没有意义,而向量的模可以比较大小.零向量是比较特殊的向量,解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”