平面向量数量积的物理背景及其含义

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义.
3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性质与运算律解决有关问题.
知识点
  • 1.平面向量的数量积

    定义

    已知两个非零向量ab,我们把数量$|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$;叫做ab的数量积(或内积),其中$\theta$ab的夹角

    记法

    记作$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a} \| \mathbf{b}| \cos \theta$

    规定

    零向量与任一向量的数量积为0

    投影

    $|\mathbf{a}| \cos \theta(|\mathbf{b}| \cos \theta)$叫做向量ab方向上(ba方向上)的投影

    几何意义

    数量积$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于a的长度$|\mathbf{a}|$与ba的方向上的投影$|\mathbf{b}| \cos \theta$的乘积

    名师点拨

    1.两个向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当$a \neq 0, b \neq 0,0^{\circ} \leq \theta < 90^{\circ}$时),也可以为负(当$a \neq 0, b \neq 0,90^{\circ}<\theta \leq 180^{\circ}$时),还可以为0(当$\mathbf{a}=\mathbf{0}$或$\mathbf{b}=\mathbf{0}$或$\theta=90^{\circ}$时).

    image.png

    2.向量b在a的方向上的投影不是向量而是数量,如图,即为$|\mathbf{b}| \cos \theta$,它的符号取决于$\theta$角的范围.

    3.$a \cdot b$也等于$|\mathbf{b}|$与$a$在$b$的方向上的投影的乘积.其中$a$在$b$的方向上的投影与$b$在$a$的方向上的投影是不同的.

    【做一做1-1】 若向量$a,b$满足$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1, \mathbf{a}$与$b$的夹角为$60^{\circ}$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于(  )

    A.$\frac{1}{2}$   B.$\frac{3}{2}$

    C.$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$   D.2

    解析:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$.

    答案:A

    【做一做1-2】 已知$|\mathbf{a}|=2$,向量$a$与向量$b$的夹角为$120^{\circ}$,则向量$a$在向量$b$方向上的投影等于(  )

    A.2   B.120°

    C.-1  D.由向量b的长度确定

    解析:$|a| \cos 120^{\circ}=2 \cos 120^{\circ}=-1$.

    答案:C

  • 2.运算律

    交换律

    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$

    结合律

    $(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\mathbf{a} \cdot(\lambda \mathbf{b})$

    分配律

    $(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$

    名师点拨

    1.已知实数$a, b, c(b \neq 0)$,则$a b=b c \Rightarrow a=c$.但对于向量的数量积,该推理不正确,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$1558149181482190.png$\mathbf{a}=\mathbf{c}$.

    2.对于实数$a,b,c$有$(a b) c=a(b c)$;但对于向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c},(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$一般不成立.这是因为$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$表示一个与$c$共线的向量,而$\mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$表示一个与$a$共线的向量,而$c$与$a$不一定共线,所以$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$一般不成立.

    【做一做2】 有下列各式:

    ①$(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\mathbf{a} \cdot(\lambda \mathbf{b})$;②$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}| \cdot|\mathbf{b}|$;

    ③$(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$;④$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$.

    其中正确的个数为(  )

    A.4   B.3   C.2   D.1

    解析:①③正确.

    答案:C

  • 3.向量数量积的性质

    设a,b为两个非零向量,a与b的夹角为θ.

    垂直

    $\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$

    共线

    同向

    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$

    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}^{2}=|\mathbf{a}|^{2}$

    $|\mathbf{a}|=\sqrt{a \cdot a}$

    反向

    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$

    绝对值

    $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$

    符号

    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}>0$

    $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$

    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$

    $\theta=\frac{\pi}{2}$

    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$

    $\theta \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$

    夹角公式

    $\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a \| b|}$

    归纳总结

    1.$(\mathbf{a}+\mathbf{b})^{2}=\mathbf{a}^{2}+2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}^{2}$;

    2.$(\mathbf{a}-\mathbf{b})^{2}=\mathbf{a}^{2}-2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}^{2}$;

    3.$\mathbf{a}^{2}-\mathbf{b}^{2}=(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \cdot(\mathbf{a}+\mathbf{b})$.

    【做一做3-1】 在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A=90^{\circ}$,则$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$___________. 

    解析:$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{A C}| \\ \cos A=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cos 90^{\circ}=0$.

    答案:0

    【做一做3-2】 已知$|\mathbf{a}|=7$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=$_______. 

    解析:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}|^{2}=7^{2}=49$.

    答案:49

    【做一做3-3】 已知$|\mathbf{a}|=8,|\mathbf{b}|=1, \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=8$,则$a$与$b$的夹角$\theta=$________. 

    解析:$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a||b|}=1$,又$\theta \in[0, \pi]$,则$\theta=0$.

    答案:0

重难点
  • 向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别和联系

    剖析:从运算的定义、表示方法、性质和几何意义上来分析对比.

    (1)从定义上看,两个向量数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数;两个实数的积是一个实数.

    (2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成a?b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a?b是两个向量的数量积,因此书写时要严格区分,符号“?”在向量运算中既不能省略,也不能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.


    (3)从运算的性质上看,在向量的数量积中,若a?b=0,则a=0或b=0或$a \perp b$;在向量的数乘中,若λa=0,则λ=0或a=0;在实数的乘法中,若ab=0,则a=0或b=0.

    在向量的数量积中,$a \cdot b=b \cdot c \Rightarrow b=0$或a=c或b⊥(a-c);在向量的数乘中,$\lambda \mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}(\lambda \in \mathbf{R}) \Rightarrow \mathbf{a}=\mathbf{b}$或λ=0;在实数的乘法中,$a b=b c \Rightarrow a=c$或b=0.

    在向量的数量积中,一般$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \neq \mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$;在向量的数乘中,$(\lambda m) \mathbf{a}=\lambda(m \mathbf{a})(\lambda \in \mathbf{R}, m \in \mathbf{R})$;在实数的乘法中,有$(a b) c=a(b c)$.

    (4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a?b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积;在向量的数乘中,λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a,b到原点的距离的积.

例题解析
  • 题型一、求向量的数量积

    【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=4$,则$\mathbf{b} \cdot(3 \mathbf{a}+\mathbf{b})$的值为_______. 

    【变式训练1】 (1)若向量a,b满足$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$,a与b的夹角为60°,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于(  )

    A.$\frac{1}{2}$     B.$\frac{3}{2}$      C.$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$       D.2

    (2)

    image.png

    设正三角形ABC的边长为$\sqrt{2}$,$\overrightarrow{A B}=\mathbf{c}, \overrightarrow{B C}=\mathbf{a}, \overrightarrow{C A}=\mathbf{b}$,求$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}+\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}$.

  • 题型二、求向量的模

    【例2】 若向量a,b满足$|\mathbf{a}|=\sqrt{2},|\mathbf{b}|=2$,且$(a-b) \perp a$,则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$等于(  )

    A.3       B.2$\sqrt{2}$     C.10     D.$\sqrt{10}$

    【变式训练2】

    (1)已知$|\mathbf{a}|=4,|\mathbf{b}|=2,|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=5$,则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=$________. 

    (2)已知向量$a,b$的夹角为$45^{\circ}$,且$|\mathbf{a}|=1,|2 \mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{10}$,则$|\mathbf{b}|=$________. 

  • 题型三、求两向量的夹角

    【例3】 已知$|\mathbf{a}|=1,|\mathbf{b}|=4,(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \cdot(\mathbf{a}+2 \mathbf{b})=-29$,求a与b的夹角$\theta$.

    (1)计算$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b},|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|$;

    (2)利用夹角公式$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a||b|}$ 计算$\cos \theta$;

    (3)根据$\theta \in[0, \pi]$确定夹角$\theta$的大小.

    【变式训练3】 若非零向量$a,b$满足$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|,(2 \mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{b}=0$,则$a$与$b$的夹角为(  )

    A.30°           B.60°             C.120°        D.150°

  • 题型四、证明两个向量垂直

    【例4】 已知向量$a,b$不共线,且$|2 \mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}+2 \mathbf{b}|$,求证:$(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \perp(\mathbf{a}-\mathbf{b})$.

    【变式训练4】 已知$|\mathbf{a}|=3,|\mathbf{b}|=2, \mathbf{a}$与$b$的夹角为$60^{\circ}, \mathbf{c}=3 \mathbf{a}+5 \mathbf{b}, \mathbf{d}=m \mathbf{a}-3 \mathbf{b}$.若$\mathbf{c} \perp \mathbf{d}$,求$m$的值.

  • 题型五、判断平面图形的形状

    【例5】 在$\triangle A B C$中$\overrightarrow{A B}=\mathbf{c}, \overrightarrow{B C}=\mathbf{a}, \overrightarrow{C A}=\mathbf{b}$,且$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}=\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}$,试判断$\triangle A B C$的形状.

    分析:易知a+b+c=0,分别将a,b,c移至等号右边,得到三个等式,分别平方,选取两个等式相减,即可得到a,b,c中两个向量的长度之间的关系.

    反思

    依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状,关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系,移项、两边平方是常用手段,这样可以出现数量积及向量的长度等信息,为说明边相等、边垂直指明方向.

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