平面向量数量积的物理背景及其含义
2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义.
3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性质与运算律解决有关问题.
1.平面向量的数量积
定义
已知两个非零向量a与b,我们把数量$|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$;叫做a与b的数量积(或内积),其中$\theta$是a与b的夹角
记法
记作$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a} \| \mathbf{b}| \cos \theta$
规定
零向量与任一向量的数量积为0
投影
$|\mathbf{a}| \cos \theta(|\mathbf{b}| \cos \theta)$叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影
几何意义
数量积$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于a的长度$|\mathbf{a}|$与b在a的方向上的投影$|\mathbf{b}| \cos \theta$的乘积
名师点拨1.两个向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当$a \neq 0, b \neq 0,0^{\circ} \leq \theta < 90^{\circ}$时),也可以为负(当$a \neq 0, b \neq 0,90^{\circ}<\theta \leq 180^{\circ}$时),还可以为0(当$\mathbf{a}=\mathbf{0}$或$\mathbf{b}=\mathbf{0}$或$\theta=90^{\circ}$时).
2.向量b在a的方向上的投影不是向量而是数量,如图,即为$|\mathbf{b}| \cos \theta$,它的符号取决于$\theta$角的范围.
3.$a \cdot b$也等于$|\mathbf{b}|$与$a$在$b$的方向上的投影的乘积.其中$a$在$b$的方向上的投影与$b$在$a$的方向上的投影是不同的.
【做一做1-1】 若向量$a,b$满足$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1, \mathbf{a}$与$b$的夹角为$60^{\circ}$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于( )
A.$\frac{1}{2}$ B.$\frac{3}{2}$
C.$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$ D.2
解析:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$.
答案:A
【做一做1-2】 已知$|\mathbf{a}|=2$,向量$a$与向量$b$的夹角为$120^{\circ}$,则向量$a$在向量$b$方向上的投影等于( )
A.2 B.120°
C.-1 D.由向量b的长度确定
解析:$|a| \cos 120^{\circ}=2 \cos 120^{\circ}=-1$.
答案:C
2.运算律
交换律
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
结合律
$(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\mathbf{a} \cdot(\lambda \mathbf{b})$
分配律
$(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$
名师点拨1.已知实数$a, b, c(b \neq 0)$,则$a b=b c \Rightarrow a=c$.但对于向量的数量积,该推理不正确,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$$\mathbf{a}=\mathbf{c}$.
2.对于实数$a,b,c$有$(a b) c=a(b c)$;但对于向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c},(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$一般不成立.这是因为$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$表示一个与$c$共线的向量,而$\mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$表示一个与$a$共线的向量,而$c$与$a$不一定共线,所以$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$一般不成立.
【做一做2】 有下列各式:
①$(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\mathbf{a} \cdot(\lambda \mathbf{b})$;②$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}| \cdot|\mathbf{b}|$;
③$(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$;④$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$.
其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:①③正确.
答案:C
3.向量数量积的性质
设a,b为两个非零向量,a与b的夹角为θ.
垂直
$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$
共线
同向
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}^{2}=|\mathbf{a}|^{2}$
$|\mathbf{a}|=\sqrt{a \cdot a}$
反向
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$
绝对值
$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$
符号
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}>0$
$\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$
$\theta=\frac{\pi}{2}$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$
$\theta \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
夹角公式
$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a \| b|}$
归纳总结
1.$(\mathbf{a}+\mathbf{b})^{2}=\mathbf{a}^{2}+2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}^{2}$;
2.$(\mathbf{a}-\mathbf{b})^{2}=\mathbf{a}^{2}-2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}^{2}$;
3.$\mathbf{a}^{2}-\mathbf{b}^{2}=(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \cdot(\mathbf{a}+\mathbf{b})$.
【做一做3-1】 在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A=90^{\circ}$,则$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$___________.
解析:$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{A C}| \\ \cos A=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cos 90^{\circ}=0$.
答案:0
【做一做3-2】 已知$|\mathbf{a}|=7$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=$_______.
解析:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}|^{2}=7^{2}=49$.
答案:49
【做一做3-3】 已知$|\mathbf{a}|=8,|\mathbf{b}|=1, \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=8$,则$a$与$b$的夹角$\theta=$________.
解析:$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a||b|}=1$,又$\theta \in[0, \pi]$,则$\theta=0$.
答案:0
向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别和联系
剖析:从运算的定义、表示方法、性质和几何意义上来分析对比.
(1)从定义上看,两个向量数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数;两个实数的积是一个实数.
(2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成a?b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a?b是两个向量的数量积,因此书写时要严格区分,符号“?”在向量运算中既不能省略,也不能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.
(3)从运算的性质上看,在向量的数量积中,若a?b=0,则a=0或b=0或$a \perp b$;在向量的数乘中,若λa=0,则λ=0或a=0;在实数的乘法中,若ab=0,则a=0或b=0.
在向量的数量积中,$a \cdot b=b \cdot c \Rightarrow b=0$或a=c或b⊥(a-c);在向量的数乘中,$\lambda \mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}(\lambda \in \mathbf{R}) \Rightarrow \mathbf{a}=\mathbf{b}$或λ=0;在实数的乘法中,$a b=b c \Rightarrow a=c$或b=0.
在向量的数量积中,一般$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \neq \mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$;在向量的数乘中,$(\lambda m) \mathbf{a}=\lambda(m \mathbf{a})(\lambda \in \mathbf{R}, m \in \mathbf{R})$;在实数的乘法中,有$(a b) c=a(b c)$.
(4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a?b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积;在向量的数乘中,λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a,b到原点的距离的积.
题型一、求向量的数量积
【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=4$,则$\mathbf{b} \cdot(3 \mathbf{a}+\mathbf{b})$的值为_______.
【变式训练1】 (1)若向量a,b满足$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$,a与b的夹角为60°,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于( )
A.$\frac{1}{2}$ B.$\frac{3}{2}$ C.$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$ D.2
(2)
设正三角形ABC的边长为$\sqrt{2}$,$\overrightarrow{A B}=\mathbf{c}, \overrightarrow{B C}=\mathbf{a}, \overrightarrow{C A}=\mathbf{b}$,求$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}+\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}$.
题型二、求向量的模
【例2】 若向量a,b满足$|\mathbf{a}|=\sqrt{2},|\mathbf{b}|=2$,且$(a-b) \perp a$,则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$等于( )
A.3 B.2$\sqrt{2}$ C.10 D.$\sqrt{10}$
【变式训练2】
(1)已知$|\mathbf{a}|=4,|\mathbf{b}|=2,|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=5$,则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=$________.
(2)已知向量$a,b$的夹角为$45^{\circ}$,且$|\mathbf{a}|=1,|2 \mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{10}$,则$|\mathbf{b}|=$________.
题型三、求两向量的夹角
【例3】 已知$|\mathbf{a}|=1,|\mathbf{b}|=4,(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \cdot(\mathbf{a}+2 \mathbf{b})=-29$,求a与b的夹角$\theta$.
(1)计算$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b},|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|$;
(2)利用夹角公式$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a||b|}$ 计算$\cos \theta$;
(3)根据$\theta \in[0, \pi]$确定夹角$\theta$的大小.
【变式训练3】 若非零向量$a,b$满足$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|,(2 \mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{b}=0$,则$a$与$b$的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
题型四、证明两个向量垂直
【例4】 已知向量$a,b$不共线,且$|2 \mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}+2 \mathbf{b}|$,求证:$(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \perp(\mathbf{a}-\mathbf{b})$.
【变式训练4】 已知$|\mathbf{a}|=3,|\mathbf{b}|=2, \mathbf{a}$与$b$的夹角为$60^{\circ}, \mathbf{c}=3 \mathbf{a}+5 \mathbf{b}, \mathbf{d}=m \mathbf{a}-3 \mathbf{b}$.若$\mathbf{c} \perp \mathbf{d}$,求$m$的值.
题型五、判断平面图形的形状
【例5】 在$\triangle A B C$中$\overrightarrow{A B}=\mathbf{c}, \overrightarrow{B C}=\mathbf{a}, \overrightarrow{C A}=\mathbf{b}$,且$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}=\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}$,试判断$\triangle A B C$的形状.
分析:易知a+b+c=0,分别将a,b,c移至等号右边,得到三个等式,分别平方,选取两个等式相减,即可得到a,b,c中两个向量的长度之间的关系.
反思
依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状,关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系,移项、两边平方是常用手段,这样可以出现数量积及向量的长度等信息,为说明边相等、边垂直指明方向.