三角函数模型的简单应用

【做一做1-1】 函数$y=5 \sin \left(\frac{\pi}{6} x+\frac{\pi}{6}\right)+2$的周期与最大值分别是(　　)

A.12π,7      B.12π,5

C.12,7        D.12,5

答案:C

【做一做1-2】 函数$f(x)=\sin \left(x+\frac{4 \pi}{3}\right)+1$图象的一条对称轴方程为(　　)

A.$x=-\frac{\pi}{3}$      B.$x=\frac{\pi}{6}$

C.$x=\frac{\pi}{2}$        D.$x=\frac{2 \pi}{3}$

答案:B

【做一做1-3】 已知函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)+n$的最大值为4,最小值为0,最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$,直线$x=\frac{\pi}{3}$ 是其图象的一条对称轴,若$A>0, \omega>0,0<\varphi<\frac{\pi}{2}$,则函数的解析式为_______. 

解析:由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{A+n=4} \\ {-A+n=0}\end{array}\right.$

解得$\left\{\begin{array}{l}{A=2} \\ {n=2}\end{array}\right.$

因为函数的最小正周期为 $\frac{\pi}{2},所以\omega=\frac{2 \pi}{\frac{\pi}{2}}=4$.

由直线$x=\frac{\pi}{3}$ 是一条对称轴,可得$4 \times \frac{\pi}{3}+\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,

则$\varphi=k \pi-\frac{5 \pi}{6}(k \in \mathbf{Z})$,

又$0<\varphi<\frac{\pi}{2}$,所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$.

综上可得$y=2 \sin \left(4 x+\frac{\pi}{6}\right)+2$.

答案:$y=2 \sin \left(4 x+\frac{\pi}{6}\right)+2$

(1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化的规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用.实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要用到计算器或计算机.

(2)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注意从复杂的实际背景中抽取基本的数学关系,而且还要调动相关学科知识来解决问题.

(3)建立三角函数模型的步骤如下:

【做一做2】 

电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数$I=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)(A>0, \omega \neq 0)$的图象如图,则当$t=\frac{1}{50}$秒时,电流强度是______安. 

解析:

由题中图象可知,$T=\left(\frac{4}{300}-\frac{1}{300}\right) \times 2=\frac{1}{50}.$

又$\frac{2 \pi}{\omega}=T, \therefore \omega=100 \pi.$

∵函数的最大值为10,∴A=10.

∴$I=10 \sin \left(100 \pi t+\frac{\pi}{6}\right)$.

当$t=\frac{1}{50}$ 时,$I=10 \sin \left(100 \pi \times \frac{1}{50}+\frac{\pi}{6}\right)=5$(安).

答案:5

【例1】 如图,某动物种群数量(单位:只),去年12月1日低至700只,今年6月1日高至900只,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.

(1)求出种群数量y关于月份t的函数表达式;

(2)估计今年3月1日动物的种群数量.

分析(1)根据曲线求出函数表达式;(2)由表达式求出今年3月1日即t=3时对应的函数值.

【变式训练1】 某城市白昼时间的小时数D(t)的表达式为$D(t)=3 \sin \left[\frac{2 \pi}{365}(t-79)\right]+12$,其中t表示某天的序号,$0 \leq t \leq 364, t \in \mathbf{N}, t=0$表示1月1日,t=1表示1月2日,以此类推.

(1)该城市哪一天白昼时间最长?哪一天白昼时间最短?

(2)估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时?

【例2】

一个悬挂在弹簧上的小球,静止时如图.现从它的静止位置向下拉0.2 m的距离,在t=0时小球被放开并开始振动,1 s后又再次回到这一位置.

(1)求出描述此小球运动的一个函数关系式;

(2)求当t=6.5 s时小球所在的位置.

【变式训练2】 交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用$E=220 \sqrt{3} \sin \left(100 \pi t+\frac{\pi}{6}\right)$来表示.

求:

(1)开始时的电压;

(2)电压值重复出现一次的时间间隔;

(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间.

【例3】 游乐场中的摩天轮匀速旋转,其中心O距地面是40.5 m,半径是40 m.若从最低点处登上摩天轮,则你与地面的距离将随时间变化,5 min后到达最高点.在你登上摩天轮时开始计时,请解答下列问题.

(1)能求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式吗?

(2)当你登上摩天轮8 min后,你与地面的距离是多少?

(3)当你第1次距地面30.5 m时,用了多少时间?

(4)当你第4次距地面30.5 m时,用了多少时间?

分析:因为从最低点到最高点的变换具有周期性,所以可以用y=Asin(ωt+φ)+b作为函数模型.

【变式训练3】 下表是某地1996?2016年的月平均气温(单位:?).

(1)以月份为x轴,x=月份-1,以平均气温为y轴,描出以上各点;

(2)用正弦曲线去拟合这些数据;

(3)这个函数的周期是多少?

(4)估计这个正弦曲线的振幅A.