高中数学网二元一次不等式(组)与平面区域
2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
1.二元一次不等式(组)
(1)定义:含有____个未知数,且含有未知数的项的最高次数为1的不等式称为二元一次不等式;由几个_______________组成的不等式组称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的$x$和$y$的取值构成有序数对$(x, y)$,称为二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对$(x, y)$构成的_____称为二元一次不等式(组)的解集.有序数对可以看成是直角坐标平面内点的_____.于是,二元一次不等式(组)的_____就可以看成是直角坐标平面内的点构成的集合.
【做一做1-1】 下列是不等式$x+y-1 < 0$的一个解的是( ).
A.(2,-1) B.(0,0) C.(3,1) D.(0,2)
答案:B
【做一做1-2】 不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y>0} \\ {y < 2 x}\end{array}\right.$的一个解是_______________.
答案:(1,0)(答案不唯一)
2.平面区域
(1)定义:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式$A x+B y+C>0$表示直线$A x+B y+C=0$某一侧所有点组成的平面区域,直线_______________称为这个平面区域的_______.这时,在平面直角坐标系中,把直线$A x+B y+C=0$画成虚线,以表示_______边界;而不等式$A x+B y+C \geqslant 0$表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.
归纳总结
在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线$A x+B y+C=0$分成三类:(1)在直线$A x+B y+C=0$上的点;
(2)在直线$A x+B y+C=0$一侧区域内的点;
(3)在直线$A x+B y+C=0$另一侧区域内的点.
(2)判断方法:只需在直线$A x+B y+C=0$的一侧取某个特殊点$\left(x_{0}, y_{0}\right)$作为测试点,由$A x_{0}+B y_{0}+C$的______就可以断定$A x+B y+C>0$表示的是直线$A x+B y+C=0$哪一侧的平面区域.
特别地,当$C \neq 0$时,常取____________作为测试点;当$C=0$时,常取(0,1)或(1,0)作为测试点.
【做一做2-1】 以下各点在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y>0} \\ {x-2 y+1 < 0}\end{array}\right.$表示的平面区域内的是( ).
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot(-1,1)} & {\mathrm{B} \cdot(1,1)} \\ {\mathrm{C} \cdot(2,2)} & {\mathrm{D.}(3,2)}\end{array}$
答案:C
【做一做2-2】 点$P(m, n)$不在不等式$5 x+4 y-1>0$表示的平面区域内,则$m, n$满足的条件是___________.
答案:$5 m+4 n-1 \leqslant 0$
画出含有绝对值符号的不等式表示的平面区域
剖析利用转化的思想,通过分类讨论去掉绝对值符号,转化为画二元一次不等式组表示的平面区域.
例如:画出不等式$|x|+|y| \leqslant 1$所表示的平面区域.
解不等式$|x|+|y| \leq 1$等价于
$\left\{\begin{array}{l}{x \geq 0} \\ {y \geq 0} \\ {x+y \leq 1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x \geq 0} \\ {y < 0} \\ {x-y \leq 1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x < 0} \\ {y \geq 0} \\ {-x+y \leq 1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x < 0} \\ {y < 0} \\ {-x-y \leq 1}\end{array}\right.$
上述四个不等式组表示的平面区域合起来就是不等式$|x|+|y| \leqslant 1$所表示的平面区域,如下图所示.
画二元一次不等式表示的平面区域
【例1】 (1)画出不等式$3 x-4 y-12 \geq 0$表示的平面区域;
(2)画出不等式$3 x+2 y < 0$表示的平面区域.
分析(1)先画直线,再取原点分析;(2)先画直线,再取(1,0)点分析
反思
画二元一次不等式$Ax+By+C>0$表示的平面区域的步骤: (1)在平面直角坐标系中画出直线$Ax+By+C=0,$即边界; (2)利用特殊点确定二元一次不等式$Ax+By+C>0$表示的平面区域在直线$Ax+By+C=0$的哪一侧; (3)用阴影表示平面区域. 注意:对于二元一次不等式$Ax+By+C≥0$或$Ax+By+C≤0$,把边界画成实线;对于二元一次不等式$Ax+By+C>0$或$Ax+By+C<0,$把边界画成虚线.
【变式训练1】 画出下面二元一次不等式表示的平面区域.
$(1) x-2 y+4 \geqslant 0$
$(2) y>2 x$
画二元一次不等式组表示的平面区域
【例2】 画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5 \geq 0} \\ {x+y+1 \geq 0} \\ {x \leq 3}\end{array}\right.$表示的平面区域.
反思
画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤:
(1)画出每一个二元一次不等式表示的平面区域;
(2)取所有的二元一次不等式表示的平面区域的公共部分;
(3)用阴影表示公共部分,即为二元一次不等式组表示的平面区域.
【变式训练2】 用平面区域表示下列不等式组:
1.$\left\{\begin{array}{l}{x \geq y} \\ {3 x+4 y-12<0}\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l}{x+y \leq 5} \\ {x-2 y>3} \\ {x+2 y \geq 0}\end{array}\right.$
根据平面区域写出二元一次不等式(组)
【例3】 画出以$A(3,-1), B(-1,1), C(1,3)$为顶点的$\triangle A B C$的区域(包括边界),写出表示该区域的二元一次不等式组.
分析写出二元一次不等式组,即首先要求出直线方程,以定边界,其次要确定不等号的方向.
反思
用不等式(组)表示已知平面区域,其步骤是:(1)求出边界的直线方程;(2)确定不等号,在阴影区域内任取一点,将其坐标代入直线方程即可.
【变式训练3】 用不等式组表示如图所示的阴影区域.
易错辨析
易错点:将所取点代错式子致错
【例4】 画出二元一次不等式$2 y-5 x-10>0$表示的平面区域.
反思
由二元一次不等式写出边界直线方程时,只需将不等号变为等号,不需要变形.
