一元二次不等式及其解法
2.掌握一元二次不等式的解集,会解一元二次不等式.
3.掌握一元二次不等式的解集与其系数的关系.
4.会解简单的含参数的一元二次不等式.
1.一元二次不等式
我们把只含有__个未知数,并且未知数的最高次数是__的不等式,称为一元二次不等式.
名师点拨1.“只含有一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母,只要明确指出,哪一个是变量,哪一些是参数就可以.
2.“最高次数是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则其他参数的次数不受此条件的限制.
【做一做1】 有下列不等式:①$x^{2}>0$;②$-x^{2}-2 x \leq 15$;③$x^{3}-5 x+6>0$;④$x^{2}-y < 0$.其中一元二次不等式的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
2.一元二次不等式的解集
(1)一元二次不等式的解集如下表:
判别式
$\Delta=b^{2}-4 a c$
$\Delta>0$
$\Delta=0$
$\Delta < 0$
$y= \\ a x^{2}+b x+c$
(a>0)的图象
$a x^{2}+b x+c \\ =0$
(a>0)的根
有两个相异实根
$x_{1}, x_{2}\left(x_{1} \\ < x_{2}\right)$
有两个相等实根
$x_{1}=x_{2}= \\ -\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}$
没有实数根
$a x^{2}+b x+c \\ > 0$
(a>0)的解集
_________
_________
$\left\{x | x \neq-\frac{b}{2 a}\right\}$
____
$a x^{2}+b x+c \\ < 0$
(a>0)的解集
____________
____
____
(2)一元二次不等式的解法.
步骤是:
①利用不等式的性质,将不等式进行同解变形为一般形式如下,
$a x^{2}+b x+c>0$或$a x^{2}+b x+c \geqslant 0$或$a x^{2}+b x+c < 0$或$a x^{2}+b x+c \leqslant 0$,其中a___0.
②计算判别式$\Delta=$____________的值.
③当$\Delta>0$0时,解方程$a x^{2}+b x+c=0$得两个不相等的实根$x_{1}, x_{2}$,不妨设$x_{1} < x_{2}$,则
$a x^{2}+b x+c>0$的解集为$\left\{x | x < x_{1}\right.$,或$x>x_{2} \}$;
$a x^{2}+b x+c \geqslant 0$的解集为____________;
$a x^{2}+b x+c < 0$的解集为$\left\{x | x_{1} < x < x_{2}\right\}$;
$a x^{2}+b x+c \leqslant 0$的解集为____________.
④当$\Delta=0$时,解方程$a x^{2}+b x+c=0$得两个相等的实根$x_{1}, x_{2}$,则
$a x^{2}+b x+c>0$的解集为$\left\{x | x \neq x_{1}\right\}$;
$a x^{2}+b x+c \geqslant 0$的解集为_______;
$a x^{2}+b x+c < 0$的解集为_______;
$a x^{2}+b x+c \leqslant 0$的解集为_______.
⑤当$\Delta < 0$时,方程$a x^{2}+b x+c=0$没有实根,则
$a x^{2}+b x+c>0$的解集为$R$;
$a x^{2}+b x+c \geqslant 0$的解集为_______;
$a x^{2}+b x+c < 0$的解集为$\varnothing$;
$a x^{2}+b x+c \leqslant 0$的解集为_______.
【做一做2-1】 不等式$x>x^{2}$的解集是( ).
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .\{x | x>1\}} & {\mathrm{B} \cdot\{x | x < 0\}} \\ {\mathrm{C} \cdot\{x | 0 < x < 1\}} & {\mathrm{D.R}}\end{array}$
答案:C
【做一做2-2】 不等式$-x^{2}-3 x+4>0$的解集为_______.(用区间表示)
答案:$(-4,1)$
1.一元二次不等式的解集与其系数的关系
剖析(1)如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c>0$的解集是$\{x | n < x < m\}(n < m)$,或一元二次不等式$a x^{2}+b x+c \geqslant 0$的解集是
$\{x | n \leqslant x \leqslant m\}(n < m)$,那么有$\left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {m+n=-\frac{b}{a}} \\ {m n=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$
如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c>0$的解集是$\{x | x < n$,或$x>m \}(n < m)$,或一元二次不等式$a x^{2}+b x+c \geqslant 0$的解集是$\{x | x \leqslant n$,或$x \geq m \}(n < m)$,
那么有$\left\{\begin{array}{l}{a>0} \\ {m+n=-\frac{b}{a}} \\ {m n=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$
(2)如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c>0$的解集是$\mathbf{R}$,那么有 $\left\{\begin{array}{l}{a > 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c \leq 0}\end{array}\right.$
如果一元二次不等式 $a x^{2}+b x+c < 0$的解集是R,那么有$\left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c < 0}\end{array}\right.$
如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c \leqslant 0$的解集是R,那么有$\left\{\begin{array}{l}{a < 0 } \\ {\Delta=b^{2}-4 a c \leq 0}\end{array}\right.$如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c < 0$的解集是$\mathbf{R}$,那么有$\left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c < 0}\end{array}\right.$如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c \leqslant 0$的解集是$\mathbf{R}$,那么有$\left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c \leq 0}\end{array}\right.$
(3)如果一元二次不等式$ a x^{2}+b x+c > 0$的解集是$ \varnothing $,那么有$ \left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c \leq 0}\end{array}\right. $如果一元二次不等式$ a x^{2}+b x+c \geqslant 0 $的解集是$ \varnothing $,那么有$ \left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c < 0}\end{array}\right.$
如果一元二次不等式$ a x^{2}+b x+c < 0 $的解集是$ \varnothing $,那么有$ \left\{\begin{array}{l}{a > 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c \leq 0}\end{array}\right. $如果一元二次不等式$ a x^{2}+b x+c \leqslant 0 $的解集是$ \varnothing $,那么有$ \left\{\begin{array}{l}{a > 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c < 0}\end{array}\right. $
2.利用二次函数的图象解一元二次不等式
剖析我们知道以自变量的取值为横坐标,对应的函数值作为纵坐标,在平面直角坐标系中描出所有的点,这些点就构成了函数的图象.因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值,纵坐标是对应的函数值.二次函数$f(x)=a x^{2}+b x+c$的图象上的点的坐标的意义也是一样.由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0,位于x轴上的点的纵坐标等于0,位于x轴下方的点的纵坐标小于0,所以二次函数$f(x)=a x^{2}+b x+c$的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式$f(x)=a x^{2}+b x+c>0$的解集,二次函数$f(x)=a x^{2}+b x+c$的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式$f(x)=a x^{2}+b x+c < 0$的解集.所以可以用二次函数的图象来解一元二次不等式.当然,对于任意函数$y=f(x)$,只要能画出它的图象,那么就可以解不等式$f(x)>0$或$ < 0$.
解一元二次不等式
【例1】 解下列不等式:
$(1) x(7-x) \geqslant 12$
$(2) x^{2}>2(x-1)$
分析由于所给的不等式不是一般形式,故应先将它们转化为一般形式,即不等式$(1)$可以化为$x^{2}-7 x+12 \leqslant 0$再求解,不等式$(2)$可以化为$x^{2}-2 x+2>0$再求解.
反思
解一元二次不等式的一般步骤:
(1)将不等式等价变形为一般形式,使二次项系数大于零;
(2)计算对应方程的判别式;
(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;
(4)根据一元二次不等式的解集写出原不等式的解集.
【变式训练1】 解下列不等式:
$(1) x^{2}-5 x-6>0 ; \\ (2) 4\left(2 x^{2}-2 x+1\right)>x(4-x)$.
已知一元二次不等式的解集求参数的值
【例2】 关于$x$的不等式$a x^{2}+b x+2 \leqslant 0$的解集是$\{x | x \leqslant-1$,或$x \geqslant 2 \}$,求$a,b$的值.
分析$-1$和$2$是关于$x$的一元二次方程$a x^{2}+b x+2=0$的两根,借助于一元二次方程根与系数的关系,求出$a与b$的值.
反思
已知一元二次不等式的解集求参数的值的步骤:
(1)确定$x^{2}$的系数$a \neq 0$;
(2)明确不等式$a x^{2}+b x+c>0$(或$ < 0$,或$\geqslant 0$,或$\leqslant 0$)的解集的“端点”是相应的一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$的根;
(3)借助一元二次方程根与系数的关系,列出关于参数的方程(组),解得参数的值.
【变式训练2】 已知关于$x$的不等式$x^{2}+a x+b < 0$的解集为$(1,2)$,试求关于x的不等式$b^{2}+ax+1>0$的解集.
含参数的一元二次不等式的解法
【例3】 解关于$x$的不等式$a x^{2}-(a+1) x+1 < 0(a \in \mathbf{R})$.
分析先对二次项系数$a$分大于0、小于0、等于0讨论,并分别求出对应方程的解,再根据解的大小写出解集.
反思
含参数不等式的解题步骤为:(1)将二次项系数化为正数;(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情况写出相应的解集.若方程有两个相异实根,为了写出解集还要比较两个根的大小.另外,当二次项含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0.【变式训练3】 解关于$x$的不等式$x^{2}-a x-2 a^{2} < 0(a \in \mathbf{R})$
易错辨析
易错点:忽略二次项系数的正负致错
【例4】 解不等式$(2-x)(x+3) < 0$.