高中数学网抛物线的简单几何性质(二)
2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系及弦长等问题.
1.直线与抛物线的位置关系
直线$y=k x+b$与抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的交点个数决定于关于x的方程$k^{2} x^{2}+2(k b-p) x+b^{2}=0$的解的个数.当$k \neq 0$时,若$\Delta>0$,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若$\Delta=0$,则直线与抛物线有一个公共点;若$\Delta < 0$,则直线与抛物线没有公共点.当$k=0$时,直线与抛物线的轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点.
【做一做1】 直线$l : 2 x-y-1=0$与抛物线$y^{2}=4 x$的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
答案:B
2.弦长公式
(1)直线与抛物线相交形成的弦长计算公式为
$\left|P_{1} P_{2}\right|= \\ \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=|x_{1}-x_{2}| \cdot \sqrt{1+k^{2}}} \\ =| y _{1}-y _{2} | \cdot \sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}$
(2)过焦点的直线交抛物线$y^{2}=2 p x$于A,B两点.设$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,则$|A B|=x_{1}+x_{2}+p(p>0)$.
【做一做2】 直线$l : y=2 x+2$与抛物线$x^{2}=8 y$相交于A,B两点,则$|A B|$等于( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A.} 40} & {\mathrm{B} .2 \sqrt{10}} \\ {\mathrm{C.} 8 \sqrt{5}} & {\mathrm{D.} 16}\end{array}$
解析:将$y=2 x+2$代入$x^{2}=8 y$,得$x^{2}-16 x-16=0$.
设$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,则$x_{1}+x_{2}=16, x_{1} x_{2}=-16$.
$\therefore|A B|=\sqrt{5} \cdot \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}} \\ =\sqrt{5} \cdot \sqrt{256+64}=40$
答案:A
1.直线与fun88网上娱乐网上娱乐锥曲线的位置关系
剖析直线与fun88网上娱乐网上娱乐锥曲线的位置关系可通过讨论直线方程与fun88网上娱乐网上娱乐锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.通常消去方程组中的变量$y$(或$x$)就得到关于$x$(或$y$)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式,则有
$\Delta>0 \Leftrightarrow$直线与fun88网上娱乐网上娱乐锥曲线相交于两点;
$\Delta=0 \Leftrightarrow$直线与fun88网上娱乐网上娱乐锥曲线相切;
$\Delta < 0 \Leftrightarrow$直线与fun88网上娱乐网上娱乐锥曲线相离.
2.弦长问题
剖析(1)直线与抛物线相交形成的弦长计算公式为$\left|P_{1} P_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \\ =|x _{1}-x _{2}| \cdot \sqrt{1+k^{2}} =|y _{1}-y _{2}| \cdot \sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}$.
(2)过焦点的直线交抛物线$y^{2}=2 p x$于$A, B$两点.
设$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,则$|A B|=x_{1}+x_{2}+p(p>0)$.
题型一 直线与抛物线的位置关系
【例1】 已知直线$l : y=k(x+1)$与抛物线$C \cdot y^{2}=4 x$.问:当$k$为何值时,直线$I$与抛物线$C$有两个交点,一个交点,无交点?
反思
直线与抛物线交点的个数,等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.
【变式训练1】 已知过点(-3,2)的直线与抛物线$y^{2}=4 x$只有一个公共点,求此直线方程.
题型二 弦长问题
【例2】 已知抛物线$y^{2}=6 x$,过点$P(4,1)$引一条弦$P_{1} P_{2}$恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及$\left|P_{1} P_{2}\right|$.
分析利用点差法及弦长公式求解.
反思
涉及弦长问题,常常借助根与系数的关系,这样可以避免分别求$x_{1}, x_{2}$的麻烦,如果是利用弦长求参数的问题,那么只需要列出参数的方程或不等式即可求解,而$x_{1}, x_{2}$(或$y_{1}, y_{2}$)一般不需要求出来.
【变式训练2】 已知顶点在原点,焦点在$x$轴上的抛物线截直线$y=2 x-4$所得的弦长$|A B|=3 \sqrt{5}$,求此抛物线的方程.
题型三 直线与抛物线的综合问题
【例3】
如图,过抛物线$y^{2}=x$上一点$A(4,2)$作倾斜角互补的两条直线$A B, A C$交抛物线于$B, C$两点,求证:直线$B C$的斜率是定值.
反思在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这类问题的关键是代换和转化.
【变式训练3】 已知在平面直角坐标系$x O y$中,直线$l$与抛物线$y^{2}=4 x$相交于不同的$A,B$两点.
(1)若直线$l$过抛物线的焦点,求$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$的值;
(2)若$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=-4$,证明直线$l$必过一定点,并求出该定点.
题型四 易错辨析
易错点 忽略斜率不存在的情况致错
【例4】 求过点$P(0,1)$且与抛物线$y^{2}=2 x$有且只有一个公共点的直线方程
反思
一般地,点$P$在抛物线内,则过点$P$且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有一条;点$P$在抛物线上,则过点$P$且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条;点$P$在抛物线外,则过点$P$且和抛物线只有一个公共点的直线有三条.因此,在求过点$P$且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程时要考虑周全,不要出现漏解的情况.另外,在求直线与抛物线的位置关系时,对消元后的方程不要忘记讨论二次项系数为零的情况.
