双曲线的简单几何性质
2.能解决一些简单的双曲线问题.
1.双曲线的简单几何性质
焦点的位置
焦点在$x$轴上
焦点在$y$轴上
图形
标准方程
$\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{h}^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$
$\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$
范围
$x \leq-a$或$x \geq a$
$y \leq-a$或$y \geq a$
顶点
$( \pm a, 0)$
$(0, \pm a)$
轴长
虚轴长=2b,实轴长=2a
焦点
$F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$
$F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$
焦距
$\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c$
对称性
对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点(0,0)
离心率
$e=\frac{c}{a}(e>1)$
渐近线
$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}} \pm \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}=0$或$\mathrm{y}=\pm \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \mathrm{x} )$
$\frac{y}{a} \pm \frac{x}{b}=0$或$y=\pm \frac{a}{b} x )$
名师点拨离心率$e=\frac{c}{a}>1$,离心率越大$\frac{b}{a}=\sqrt{e^{2}-1}$ 就越大,双曲线“张口”越大.
【做一做1-1】 中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A. $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$
$\mathrm{B} \cdot \frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$或$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{9}=1$
C. $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{36}=1$
$\mathrm{D} \cdot \frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{36}=1$或$\frac{y^{2}}{100}-\frac{x^{2}}{36}=1$
答案:B
【做一做1-2】 双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的渐近线方程是( )
$\mathrm{A} \cdot y=\pm \frac{2}{3} x \mathrm{B} \cdot y=\pm \frac{4}{9} x$
$\mathrm{C} \cdot y=\pm \frac{3}{2} x \mathrm{D} \cdot y=\pm \frac{9}{4} x$
解析:$a^{2}=4, b^{2}=9$,焦点在$x$轴上,
故渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x=\pm \frac{3}{2} x$.
答案:$C$
【做一做1-3】 下列曲线中,离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$的是( )
$\mathrm{A} \cdot \frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 \mathrm{B} \cdot \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$
$\mathrm{C} \cdot \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}=1 \mathrm{D} \cdot \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{10}=1$
解析:选项$B$中,$a=2, c^{2}=4+2=6$.
$\therefore c=\sqrt{6} . \therefore e=\frac{\sqrt{6}}{2}$
答案:$B$
【做一做1-4】 双曲线$5 y^{2}-4 x^{2}=-20$的实轴长为__________,虚轴长为__________,渐近线方程为__________,离心率为__________.
解析:双曲线$5 y^{2}-4 x^{2}=-20$化为标准方程为$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$.
$\therefore a=\sqrt{5}, b=2 . \therefore c=3$.
∴实轴长为2$\sqrt{5}$,虚轴长为4,渐近线方程为$y=\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$,离心率为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
答案:$2 \sqrt{5} \quad 4 \quad y=\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x \quad \frac{3 \sqrt{5}}{5}$
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,显然,它的渐近线方程为$y=\pm x$,离心率为$\sqrt{2}$
方程可表示为$x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda \neq 0)$.
【做一做2】 已知双曲线$\frac{x^{2}}{n}-\frac{y^{2}}{12-n}=1$的离心率为$\sqrt{2}$,则$n=$__________.
答案:6
1.双曲线的渐近线
剖析(1)随着$x$和$y$趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近,但永远没有交点.
(2)求渐近线的方程,常把双曲线方程右边的常数写成0,分解因式即得渐近线方程,若已知渐近线方程$m x+n y=0$,求双曲线方程,常将双曲线方程设为$\frac{x^{2}}{n^{2}}-\frac{y^{2}}{m^{2}}=\lambda$求解
2.有共同渐近线的双曲线系方程
剖析若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{\prime}}-\frac{y^{2}}{b^{\prime 2}}=\pm 1$有相同的渐近线,即两条渐近线方程$\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$与$\frac{x}{a^{\prime}} \pm \frac{y}{b^{\prime}}=0$分别重合,则必有$\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{1}{k}(k>0)$,故$a^{\prime}=k a, b^{\prime}=k b$.
反之,易求得双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$与 $\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$有相同的渐近线$y=\pm \frac{b}{a} x$,故与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$有相同渐近线的双曲线系方程为$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$.上述方程可简化为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$,因此在已知渐近线方程的情况下,利用双曲线系方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$求双曲线方程较为方便.
题型一 求双曲线的标准方程
【例1】 已知双曲线的渐近线方程为$2 x \pm 3 y=0$.
(1)若双曲线过点$P(\sqrt{6}, 2)$,求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线的焦距是2$\sqrt{13}$,求双曲线的标准方程.
分析可设出双曲线方程的统一形式,依据题设建立待定参数的方程或方程组求解.
反思
解决这类问题时,有两种方法.一是设出双曲线的标准方程,利用条件列出独立的关于$a,b$的等式,解方程组求出待定系数.二是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关于参数的关系式并确定$ \lambda $,但应注意的符号与双曲线焦点位置的对应.
【变式训练1】 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程:
(1)双曲线过点$(3,9 \sqrt{2})$,离心率$e=\frac{\sqrt{10}}{3}$;
(2)与双曲线$x^{2}-2 y^{2}=2$有共同的渐近线,且经过点$(2,-2)$;
(3)过$P(2,-1)$,渐近线方程是$y=\pm 3 x$.
题型二 求双曲线的简单几何性质
【例2】 如图,已知$F_{1}, F_{2}$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦点,过点$F 2$作垂直于x轴的直线交双曲线于点$P$,且$\angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$,求双曲线的渐近线方程.
分析由于$P F_{2} \perp x$轴,因而可求得点P的纵坐标,即可知$\left|P F_{2}\right|$的值.结合$\triangle P F_{1} F_{2}$为直角三角形及双曲线的定义,可求得$a,b$间的关系,就可得渐近线的斜率.
反思
双曲线上一点P与两个焦点$F_{1}, F_{2}$连线形成的$\triangle P F_{1} F_{2}$是常遇到的一种图形,它往往把三角形的相关知识(如勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)与双曲线的相关知识相结合构造不同的问题,总结对应的解题思路与方法,可从以上知识入手.
【变式训练2】 求双曲线$9 y^{2}-4 x^{2}=-36$的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
题型三 求双曲线的离心率
【例3】 分别求适合下列条件的双曲线的离心率:
(1)双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{3}{2} x$;
(2)双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0 < a < b)$的半焦距为$c$,直线$l$过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4} c$.
反思 求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到$a, b, c$的关系式,再根据$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,直接求$a,c$的值.而在解题时常把$\frac{c}{a}$或 $\frac{b}{a}$视为整体,把关系式转化为关于 $\frac{c}{a}$或 $\frac{b}{a}$的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.在本题的(2)中,要注意条件$0 < a < b$对离心率的限制,以保证结果的准确性.
【变式训练3】 设$F_{1}, F_{2}$是双曲线$C : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两个焦点,$P$是$C$上一点.若$|P F_{1}|+|P F _{2}|=6 a$,且$\Delta P F_{1} F_{2}$的最小内角为$30^{\circ}$,则C的离心率为_________.
题型四 易错辨析
易错点 分类讨论不全面致错
【例4】 求经过点$\left(\frac{1}{2}, 2\right)$,且与双曲线$4 x ^{2}-y ^{2}=1$仅有一个公共点的直线方程.