双曲线及其标准方程
2.会求双曲线的标准方程.
1.双曲线的概念
(1)双曲线的定义.
平面内与两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离的差的绝对值等于非零常数(小于$\left|F_{1} F_{2}\right|$)的点的轨迹叫做双曲线.
(2)双曲线的焦点与焦距.
双曲线定义中的两个定点$F_{1}, F_{2}$叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
归纳总结
1.双曲线的定义中,在$0 < 2 a< \left|F_{1} F_{2}\right|$的条件下,当$\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2 a$时为双曲线的一支(靠近点$F_{2}$的一支);当$\left|P F_{2}\right|-\left|P F_{1}\right|=2 a$时为双曲线的另一支(靠近点$F_{1}$的一支).当$2 a=\left|F_{1} F_{2}\right|$时,$| | P F_{1}|-| P F_{2}| |=2 a$表示两条射线;当$2 a>\left|F_{1} F_{2}\right|$时,$| | P F_{1}|-| P F_{2}| |=2 a$不表示任何图形.2.双曲线定义的双向运用
(1)若$\| M F_{1}|-| M F_{2}| |=2 a\left(0<2 a<\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$,则动点$M$的轨迹为双曲线;
(2)若动点M在双曲线上,则$\| M F_{1}|-| M F_{2}| |=2 a$.
【做一做1】 若动点$P$到点$M(1,0), N(-1,0)$的距离之差的绝对值为2,则点$P$的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
答案:$C$
2.双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,焦点$F _{1}(-C, 0), F _{2}(c, 0)$.
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是
$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,焦点$F _{1}(0,-c), F _{2}(0, c)$.
(3)在双曲线中,a,b,c的关系为$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
归纳总结给定双曲线的标准方程,若含$x^{2}$项的系数为正,则焦点在x轴上;若含$y^{2}$项的系数为正,则焦点在$y$轴上.双曲线的标准方程可统一为$m x^{2}+n y^{2}=1(m n < 0)$.
【做一做2-1】 双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点坐标是( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot( \pm \sqrt{5}, 0)} & {\mathrm{B} \cdot(0, \pm \sqrt{5})} \\ {\mathrm{C} \cdot( \pm 1,0)} & {\mathrm{D.}(0, \pm 1)}\end{array}$
答案:$A$
【做一做2-2】 以$F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$为焦点,且经过点$M(3, \sqrt{15})$
的双曲线的标准方程为___.
解析:焦点在x轴上,可设标准方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$
由双曲线的定义,得$\| M F_{1}|-| M F_{2}| |$
$=1 \sqrt{7^{2}+(\sqrt{15})^{2}}-\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{15})^{2}}| \\ =| 8-4 |=4=2 a$
则$a=2$.
又$c=4$,则$b^{2}=c^{2}-a^{2}=12$.
故双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
答案:$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
1.求双曲线的标准方程的方法
剖析求双曲线方程一般采用待定系数法,其解题方法是先定位,再定量.“定位”是指除了中心在原点之外,还要判断焦点在哪条坐标轴上,以便使方程的右边为1时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,同时也就确定了焦点的位置.要求双曲线的标准方程,就要求出$a^{2}$和$b^{2}$这两个“待定系数”,于是需要两个独立的条件,按条件列出关于$a^{2}$和$b^{2}$的方程组,解得$a^{2}$和$b^{2}$的具体数值后,再按位置特征写出标准方程,因此“定量”是指$a,b,c$等数值的确定.解题步骤为:首先判断焦点的位置,其次求出关键数据,最后写出双曲线方程.
因此,确定一个双曲线的标准方程需要三个条件??两个定形条件$a,b$,一个定位条件??焦点坐标.
求双曲线的标准方程的方法还有轨迹方程法.
2.椭fun88网上娱乐网上娱乐和双曲线的比较
剖析
椭fun88网上娱乐网上娱乐
双曲线
定义
$\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right| \\ =2 a\left(2 a>\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$
$| | P F_{1}|-| P F_{2}| | \\ =2 a\left(2 a<\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$
方程
$\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1$
$(a>b>0)$
$\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}} =1$
$(a>b>0)$
$\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}} \\ =1$
$(a>0, \\ b>0)$
$\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}} \\ =1$
$(a>0, \\ b>0)$
焦点
$F( \pm c, 0)$
$F(0, \pm c)$
$F( \pm c, 0)$
$F(0, \pm c)$
知识拓展 方程 $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$既可以表示椭fun88网上娱乐网上娱乐又可以表示双曲线.
当方程表示椭fun88网上娱乐网上娱乐时,$m, n$应满足$m>n>0$或$n>m>0$.
当方程表示双曲线时,$m, n$应满足$m n < 0$,且当$m>0, n < 0$时,方程表示焦点在$x$轴上的双曲线;当$m < 0, n="">0$时,方程表示焦点在y轴上的双曲线.
知道双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,但不知道焦点在哪一条坐标轴上,这时双曲线的方程可设为 $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m n < 0)($或$m x^{2}+n y^{2}=1, m n < 0 )$.
题型一 双曲线的定义
【例1】 若方程$\frac{x^{2}}{2-m}+\frac{y^{2}}{|m|-3}=1$表示双曲线,求$m$的取值范围.
分析由双曲线的标准方程可知,方程 $\frac{x^{2}}{2-m}+\frac{y^{2}}{|m|-3}=1$表示双曲线,则$(2-m)(|m|-3) < 0$,解不等式即可得$m$的取值范围
反思
由方程判断曲线类型,先看其分母,再结合双曲线、椭fun88网上娱乐网上娱乐的不同要求,构造关于分母中参数的方程(组)或不等式(组)即可求得.
【变式训练1】 “$3 < m < 5$”是“方程$\frac{x^{2}}{m-5}+\frac{y^{2}}{m^{2}-m-6}=1$表示双曲线”的( ) .
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 (1)求与椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{5}=1$有共同焦点,且过点$(3 \sqrt{2}, \sqrt{2})$的双曲线的标准方程;
(2)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点$P_{1,} P_{2}$的坐标分别为$(3,-4 \sqrt{2}),\left(\frac{9}{4}, 5\right)$,求双曲线的标准方程.
分析第(1)题由椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程确定焦点坐标,可求得$c$值,设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,用待定系数法求得$a,b$;第(2)题可先设出标准方程,然后把点$P_{1}, P_{2}$的坐标代入方程,联立方程组,求出$a^{2}, b^{2}$的值.
反思
求解双曲线的方程,主要是依据题目给出的条件确定$a^{2},b^{2}$的值,要注意焦点在哪条坐标轴上,求解的过程中也可以用换元思想.
【变式训练2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)$a=4$,经过点$A\left(1,-\frac{4 \sqrt{10}}{3}\right)$
(2)经过点$(3,0),(-6,-3)$.
题型三 双曲线定义的应用
【例3】 已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别是$F _{1}, F _{2}$,若双曲线上一点$P$使得$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$,求$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积.
分析如图,$S_{\Delta F_{1} P F_{2}}=\frac{1}{2}|P F _{1}| \cdot\left|P F_{2}\right|$,结合双曲线的定义可求出$\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$的值,面积即可求得.
反思
此类问题一般结合双曲线的定义和正弦定理、余弦定理来解决,注意整体思想的应用.
【变式训练3】 已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别是$F _{1}, F _{2}$,若双曲线上一点$P$使得$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$,求$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积.
分析利用双曲线的定义及余弦定理求解.
题型四 易错辨析
易错点 忽略焦点的位置致错
【例4】 已知双曲线$2 x^{2}-y^{2}=k$的焦距为6,求$k$的值.