高中数学网复数代数形式的乘除运算
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.理解共轭复数的概念.
1.复数代数形式的乘法及其运算律
(1)复数代数形式的乘法运算法则.
设$z_{1}=a+b \mathrm{i}, z_{2}=c+d i(a, b, c, d \in \mathbf{R})$是任意两个复数,那么它们的积$(a+b i)(c+d i)=a c+b c i+a d i+b d i^{2} \\ =(a c-b d)+(a d+b c) i$.
(2)复数乘法的运算律.
对于任意$z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathrm{C}$,有
交换律
$z_{1} \cdot z_{2}=z_{2} \cdot z_{1}$
结合律
$\left(z_{1} \cdot z_{2}\right) \cdot z_{3}=z_{1} \cdot\left(z_{2} \cdot z_{3}\right)$
乘法对加法的分配律
$z_{1}\left(z_{2}+z_{3}\right)=z_{1} z_{2}+z_{1} z_{3}$
【做一做1-1】 $i$是虚数单位,则$i(1+i)$等于( )
A.1+i B.-1-I C.1-i D.-1+i
解析:$\mathrm{i}(1+\mathrm{i})=\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=-1+\mathrm{i}$.
答案:D
【做一做1-2】 已知复数$z_{1}=2+\mathrm{i}, z_{2}=1-\mathrm{i}$,则$z=z_{1} \cdot z_{2}$在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:$\because z=z_{1} \cdot z_{2}=(2+i)(1-i)=3-i$,∴z在复平面上所对应的点位于第四象限.
答案:D
2.共轭复数的概念
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数为$\overline{Z}$,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
【做一做2】 若$x-2+y i$和$3 x-\mathrm{i}(x, y \in \mathbf{R})$互为共轭复数,则x=_______,y=_______.
解析:由题意,可得$\left\{\begin{array}{c}{x-2=3 x} \\ {y=1}\end{array}\right.$ 故$\left\{\begin{array}{c}{x=-1} \\ {y=1}\end{array}\right.$
3.复数代数形式的除法运算法则
在进行复数的除法运算时,通常先把$(a+b i) \div(c+d i)(a, b, c, d \in \mathbf{R})$写成$\frac{a+b \mathbf{i}}{c+d \mathbf{i}}$的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数$c-d i$.
复数除法法则是
$(a+b i) \div(c+d i)=\frac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}}-\frac{b c-a d}{c^{2}+d^{2}}(c+d i \neq 0)$
名师点拨复数的运算包括四种运算:加、减、乘、除.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中,把$i^{2}$换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数乘、除的结果仍是复数.
【做一做3-1】 在复平面内,复数$z=12+i$对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:$z=12+i=2-i 5=25-i 5$,则$z$对应的点为25,-15,此点在第四象限,故选D.
答案:D
【做一做3-2】 若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z等于( )
A.-3+i B.3+i C.-3-i D.3-i
解析:由(3+z)i=1,得$3+z=\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$,则z=-3-i,故选C.
答案:C
1.如何理解复数代数形式的乘、除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘、除法法则与实数的乘、除法法则一致.
(2)实数乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在复数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘、除法运算.
(5)多项式的乘法公式在复数集中仍成立.
名师点拨实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立.如:
(1)当$z \in \mathbf{R}$时,$|z|^{2}=z^{2}$,
而当$z \in \mathbf{C}$时,$|z|^{2} \in \mathbf{R}$,但$z^{2} \in \mathbf{C}$,
则$|z|^{2} \neq z^{2}$.
如当z=-2时,$|-2|^{2}=(-2)^{2}$;
而当z=1+i时,$|z|^{2}=|1+\mathrm{i}|^{2}=2, z^{2}=(1+\mathrm{i})^{2}=2 \mathrm{i}$,显然$|z|^{2} \neq z^{2}$.
(2)当$z_{1}, z_{2} \in \mathbf{R}$时,$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0 \Leftrightarrow z_{1}=0$,且$z_{2}=0$.
而当$z_{1}, z_{2} \in \mathrm{C}$时,$Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}=0 \not \Rightarrow z_{1}=0$,且$z_{2}=0$,
但$z_{1}=0, z_{2}=0 \Rightarrow Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}=0$.
即“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的必要不充分条件.
如当$z_{1}=1+2 i, z_{2}=2-i$时,$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0$,但$z_{1} \neq 0, z_{2} \neq 0$.
(3)当$z \in \mathbf{R}$时,$z^{m}=z^{n} \Rightarrow m=n$($|z| \neq 0$,且$|z| \neq 1$),而当$z \in \mathbf{C}$时,$z^{m}=z^{n} \not \Rightarrow m=n$.
(4)当$z \in \mathbf{R}$时,$|z| < a \Leftrightarrow-a < z < a$,而当$z \in \mathbf{C}$时,$|z| < a \not \Rightarrow -a < z < a$.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是$a$本身,即$z \in \mathbf{C}, z=\overline{Z} \Leftrightarrow z \in \mathbf{R}$,这是判断一个数是否为实数的一个依据.
(2)几何特征:互为共轭复数的两个复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:互为共轭复数的两个复数的虚部互为相反数.
(3)一个重要性质.
互为共轭复数的$z$与$\overline{z}$的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即$z \cdot \overline{z}=|z|^{2}=|\overline{z}|^{2}$,通常也写成$|z|=|\overline{Z}|=\sqrt{Z \cdot \overline{Z}}$.
知识拓展
共轭复数的性质:设$z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$,则
(1)$z+\overline{z}=2 a, z-\overline{z}=2 b i$;
(2) ${\overline{z}}=z$;
(3)$z=\overline{Z} \Leftrightarrow z \in \mathbf{R}$;
(4)$\overline{z_{1} \pm z_{2}}=\overline{z_{1}} \pm \overline{z_{2}}$,$\overline{Z_{1} \cdot Z_{2}}=\overline{Z_{1}} \cdot \overline{Z_{2}}$,$\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}$.
题型一、复数代数形式的乘除运算
【例1】 (1)复数$z=-1+i 1+i-1$在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
反思
1.复数乘法运算法则的记忆.
复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘法进行,注意要把$i^{2}$化为-1后,再进行化简.
2.复数除法运算法则的记忆.
复数的除法运算一般先写成分式形式,再把分母实数化,即分子、分母同时乘分母的共轭复数,若分母为纯虚数,则只需同时乘i即可.
【变式训练1】 计算:
(1)$(1+i)(1-i)+(-1+i)$;
(2)$(-2+3 i) \div(1+2 i)$;
(3)$\frac{3+2 i}{2-3 i}-\frac{3-2 i}{2+3 i}$.
题型二、共轭复数的概念
【例2】 设$z_{1}, z_{2} \in \mathbf{C}, A=z_{1} \cdot \overline{z_{2}}+z_{2} \cdot \overline{z_{1}}, \\ B=z_{1} \cdot \overline{z_{1}}+z_{2} \cdot \overline{z_{2}}$
,问A与B是否可以比较大小?为什么?反思
1.共轭复数是复数除法运算的基础.
2.$z \cdot \overline{z}=|z|^{2}=|\overline{z}|^{2}$是共轭复数的常用性质.
3.实数的共轭复数是它本身,即$z \in \mathbf{R} \Leftrightarrow z=\overline{Z}$,利用此性质可以证明一个复数是实数.
4.若$z \neq 0$,且$z+\overline{z}=0$,则z为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数.
【变式训练2】
(1)已知复数$z$满足:$z \cdot \overline{z}+2 \mathrm{i} z=8+6 \mathrm{i}$,求复数$z$的实部与虚部的和;
(2)已知复数$z$的共轭复数是$\overline{z}$,且$z-\overline{z}=-4 \mathrm{i}, z \cdot \overline{z}=13$,试求 $\frac{z}{\overline{z}}$.
题型三、虚数单位i的幂的周期性
【例3】 计算:$i+{i}^{2}+{i}^{3}+\ldots+i^{2016}$.
反思
1.虚数单位i的幂的周期性.
(1)$i^{4 n+1}=\dot{1}$,$i^{4 n+2}=-1$,$i^{4 n+3}=-i$,$\mathrm{i}^{4 n}=1$ $\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,$n$也可以推广到整数集.
(2)$\mathrm{i}^{n}+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}=0\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.
2.记住以下结果,可提高运算速度.
(1)$(1+i)^{2}=2 i,(1-i)^{2}=-2 i$;
(2)$\frac{1-i}{1+i}=-i$,$\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$;
(3)$\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$
【变式训练3】 已知$z=\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2016}+\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{2016}$,则下列结论正确的是( )
A.z为虚数且实部不为0
B.z为纯虚数
C.z为有理数
D.z为无理数
题型四、易错辨析
易错点:在复数范围内,用判别式解决一元二次方程根的问题致错
【例4】 已知关于$x$的方程$x^{2}+(k+2 i) x+2+k i=0$有实数根,求实数$k$的值.
反思
关于复系数一元二次方程有实数根的问题,一般是将实数根代入方程,用复数相等的充要条件来求解.
