数系的扩充和复数的概念
2.掌握复数的分类,理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法.
1.复数的概念及代数表示法
(1)定义:我们把集合$\mathbf{C}=\{a+b \mathbf{i} | a, b \in \mathbf{R}\}$中的数,即形如$a+b i(a, b \in \mathbf{R})$的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所成的集合$C$叫做复数集.规定$ {\mathbf{i}} \cdot {\mathbf{i}}={\mathbf{i}}^{2}=-1$.
(2)表示:复数通常用字母$z$表示,即$z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$,这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数$z=a+b i$,以后不作特殊说明,都有$a, b \in \mathbf{R}$,其中的$a$与$b$分别叫做复数$z$的实部与虚部.
【做一做1-1】 ($(1+\sqrt{3}) \mathrm{i}$的实部与虚部分别是( )
A.$1, \sqrt{3}$ B.$1+\sqrt{3}, 0$
C.$0,1+\sqrt{3}$ D.$0,(1+\sqrt{3}) i$
解析:$(1+\sqrt{3}) i$可以看作是$0+(1+\sqrt{3}) i$,所以其实部与虚部分别为$0,1+\sqrt{3}$,故选$C$.
答案:$C$
【做一做1-2】 以$3 i-\sqrt{2}$的虚部为实部,以$-3+\sqrt{2} i$的实部为虚部的复数是( )
A.$3-3 i$ B.$3+i$
C.$-\sqrt{2}+\sqrt{2} i$ D.$\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}$
解析:$3 \mathrm{i}-\sqrt{2}$ 的虚部为$3,-3+\sqrt{2} i$的实部为-3,则所求复数为$3-3 i$,故选A.
答案:A
2.复数相等的充要条件
在复数集$\mathbf{C}=\{a+b \mathbf{i} | a, b \in \mathbf{R}\}$中任取两个数$a+b i, c+d i(a, b, c, d \in \mathbf{R})$,我们规定:$a+b i$与$c+d i$相等的充要条件是$a=c$,且$b=d$.
名师点拨应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解.
【做一做2】 满足$x+y+(x-y) \mathrm{i}=2$的实数$x,y$的值为 ( )
A.$\left\{\begin{array}{l}{x=2} \\ {y=0}\end{array}\right.$ B.$\left\{\begin{array}{l}{x=1} \\ {y=1}\end{array}\right.$
C.$\left\{\begin{array}{l}{x=0} \\ {y=2}\end{array}\right.$ D.$\left\{\begin{array}{l}{x=-1} \\ {y=-1}\end{array}\right.$
解析:由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2} \\ {x-y=0}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{x=1} \\ {y=1}\end{array}\right.$
答案:B
3.复数的分类
(1)对于复数$a+b i(a, b \in \mathbf{R})$,当且仅当$b=0$时,它是实数;当且仅当$a=b=0$时,它是实数0;当$b \neq 0$时,叫做虚数;当$a=0$,且$b \neq 0$时,叫做纯虚数.
这样,复数$z=a+b \mathbf{i}(a, b \in \mathbf{R})$可以分类如下:
(2)集合表示如下.名师点拨实数集$R$是复数集$C$的真子集,即R?C.
至此,我们学过的有关数集的关系为
N*?N?Z?Q?R?C.
【做一做3-1】 下列命题中的假命题是( )
A.自然数集是非负整数集
B.实数集与复数集的交集为实数集
C.实数集与虚数集的交集是{0}
D.纯虚数集与实数集的交集为空集
解析:本题主要考查复数集合的构成,即复数的分类.复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,故选项C中的命题是假命题.
答案:C
【做一做3-2】 “a=0”是“复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$为纯虚数”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由复数的概念知,若$a+b i(a, b \in \mathbf{R})$为纯虚数,则必有$a=0$成立,故为必要条件;但若$a=0$,且$b=0$,则$a+b i=0$为实数,故不是充分条件.故选$B$.
答案:B
1.如何理解虚数单位i的性质?
剖析:(1)$\mathrm{i}^{2}=-1$.
(2)$i$与实数之间可以运算,亦适合加法、减法、乘法的运算律.
(3)因为$\mathrm{i}^{2} < 0$与实数集中$a^{2} \geqslant 0(a \in \mathbf{R})$矛盾,所以实数集中的一些结论在复数集中不再成立.
拓展:复数集中不全是实数的两数不能比较大小,如$i$和0.
2.如何应用复数的分类?
剖析:(1)复数写成代数形式$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$后,才可以根据实部、虚部进行分类.
(2)各类特殊的复数可由实部、虚部所满足的条件确定,应用时由此列出方程或不等式(组)即可.
(3)准确地把握复数集内各子集间的关系,有利于对复数概念的完整理解.
3.两个复数相等的充要条件
剖析:若$z_{1}=a+b i, z_{2}=c+d i(a, b, c, d \in \mathbf{R})$,则$z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow a=c$,且$b=d$.利用这一结论,可以把复数问题转化为实数问题进行解决,并且一个复数等式可以转化为两个实数等式,通过解方程组得到解决.
题型一、复数的概念和性质
【例1】 判断下列说法是否正确.
(1)当$z \in \mathbf{C}$时,$z^{2} \geqslant 0$;
(2)若$a \in \mathbf{R}$,则$(a+1) i$是纯虚数;
(3)若$a>b, a, b \in \mathbf{R}$,则$a+i>b+i$.
反思
数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.
如两数大小的比较,一个数的平方是非负数等.
【变式训练1】 给出下列命题:①$b=0 \Leftrightarrow$复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$为实数;②$a+(b-1) \mathrm{i}=3-\mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R}) \Leftrightarrow a=3, \\ b=-1$
③-1的平方等于i.其中正确命题的序号是_______.
题型二、复数相等的充要条件
【例2】 已知集合$M=\left\{1,\left(m^{2}-2 m\right)+\left(m^{2}+m-2\right) i\right\}, \\ P=\{-1,1,4 i\}$
若$M \cup P=P$
,求实数$m$的值.反思
1.一般地,两个复数只能相等或不相等,不能比较大小.
2.两个复数相等的充要条件是求复数及解相关方程或不等式的主要依据,是把复数问题实数化的桥梁.
【变式训练2】 (1)若$5-12 \mathrm{i}=x \mathrm{i}+y(x, y \in \mathbf{R})$,则x=_______,y=_______;
(2)已知$x^{2}+y^{2}-6+(x-y-2) \mathrm{i}=0$,求实数$x,y$的值.
题型三、复数的分类
【例3】 当实数m为何值时,复数$z=\frac{m^{2}+m-6}{m}+\left(m^{2}-2 m\right) \mathrm{i}$为
(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数.
反思
利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)),求解参数时,考虑问题要全面.
【变式训练3】 设复数$z=\lg \left(m^{2}-2 m-2\right)+\left(m^{2}+3 m+2\right) i$,当实数$m$为何值时,
(1)$z$是实数; (2)$z$是纯虚数.