充分条件与必要条件

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.
2.会判断$p$是不是$q$的充分条件、必要条件、充要条件.
知识点
  • 1.一般地,“若$p$,则$q$”为真命题,即由$p \Rightarrow q$,就说$p$是$q$的充分条件,$q$是$p$的必要条件.

    2.一般地,如果既有$p \Rightarrow q$,又有$q \Rightarrow p$,就记作$p \Leftrightarrow q$.

    此时,我们说,$p$是$q$的充分必要条件,简称充要条件.

    概括地说,如果$p \Leftrightarrow q$,那么$p$与$q$互为充要条件.

    名师点拨

    $p$与$q$互为充要条件可以理解为“$p$成立当且仅当$q$成立”或者“$p$等价于$q$”.

    【做一做1】 “$|x|=|y|$”是“$x=y$”的(  )

    A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

    C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

    解析:若$x=1, y=-1$,则$|x|=|y|$,但$x \neq y$;而$x=y \Rightarrow|x|=|y|$.

    答案:B

    【做一做2】 已知$a,b$是实数,则“$a>0$,且$b>0$”是“$a+b>0$,且$a b>0$”的(  )

    A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

    C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

    解析:对于“$a>0$,且$b>0$”可以推出“$a+b>0$,且$a b>0$”,反之也是成立的.

    答案:C

    【做一做3】 “$\alpha=\frac{\pi}{3}$”是“$\cos \alpha=\frac{1}{2}$”的_____________条件. 

    解析:若$\alpha=\frac{\pi}{3}$,则$\cos \alpha=\frac{1}{2}$ 一定成立,

    若$\cos \alpha=\frac{1}{2}$,则$\alpha=\pm \frac{\pi}{3}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}, \alpha$不一定是 $\frac{\pi}{3}$.

    答案:充分不必要

重难点
  • 1.从逻辑关系和集合关系上看充分条件、必要条件和充要条件的意义

    剖析:(1)从逻辑关系上看:

    条件$p$与结论$q$的关系

    结论

    $p \Rightarrow q$

    $p$是$q$成立的充分条件

    $p \Rightarrow q$但$q\not \Rightarrow p$

    $p$$q$成立的充分不必要条件

    $q \Rightarrow p$

    $p$$q$成立的必要条件

    $q \Rightarrow p$但$p\not \Rightarrow q$

    $p$$q$成立的必要不充分条件

    $p \Rightarrow q, q \Rightarrow p$即$p \Leftrightarrow q$

    $p$$q$成立的充要条件

    $p\not \Rightarrow q$且$q\not \Rightarrow p$

    $p$是$q$成立的既不充分也不必要条件

     

    例如,“若$x>0$,则$x^{2}>0$”,即由x>0可推出$x^{2}>0$,记作$x>0 \Rightarrow x^{2}>0$,我们说“$x>0$”是“$x^{2}>0$”的充分条件,即只要“$x>0$”成立,就一定有“$x^{2}>0$”成立.

    $p$是$q$的充分条件,“充分”的意思是:要使$q$成立,条件$p$成立就足够了,即有$p$成立,可充分保证$q$成立.

    由$x>0 \Rightarrow x^{2}>0$,则说“$x^{2}>0$”是“$x>0$”的必要条件,即如果要“$x>0$”成立,就必须“$x^{2}>0$”成立.如果缺少“$x^{2}>0$”就不会有$x>0$,换句话说,如果“$x^{2}>0$”不成立,即“$x^{2}=0$”成立,就不会有“$x>0$”成立.

    $q \Rightarrow p$的逆否命题是$\square \square p \Rightarrow \square \square q$,即“若$p$不成立,则$q$就不成立”,换句话说,缺少了$p,q$是不会成立的.这更能从字面的意思上理解必要条


    (2)从集合与集合之间的关系上看:

    如果命题$p,q$分别以集合$A=\{x | p(x)\}$,集合$B=\{x | q(x)\}$的形式出现,那么$p,q$之间的关系可借助集合知识来判断.

    若$A \subseteq B$,则$p$是$q$的充分条件;若blob.png,则$p$是$q$的充分不必要条件.

    blob.png

    若$B \subseteq A$,则$p$是$q$的必要条件;若blob.png,则$p$是$q$的必要不充分条件.

    blob.png

    $A=B$,则$p,q$互为充要条件.

    blob.png

    blob.png,且blob.png,则$p$既不是$q$的充分条件也不是$q$的必要条件.

    blob.png

     

    例如,A={中学生},B={学生},$A \subseteq B$,即某人是中学生,必是学生,故“某人是中学生”是“某人是学生”的充分条件,若“某人是学生”,则他不一定是中学生,而“某人不是学生”,则他一定不是中学生,所以“某人是学生”是“某人是中学生”的必要条件,如图所示.

    blob.png

  • 2.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法和应注意的问题

    剖析:(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要采用以下方法:

    ①确定条件$p$是什么,结论q是什么;

    ②尝试从条件推结论,若$p \Rightarrow q$,则充分性成立,$p$是$q$的充分条件;

    ③考虑从结论推条件,若$q \Rightarrow p$,则$q$是$p$的充分条件,即$p$是$q$的必要条件,必要性成立;

    ④要证明命题的条件是充要的,既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题成立即证明条件是结论成立的充分条件,证明逆命题成立即证明条件是结论成立的必要条件.


    (2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语

    在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识十分重要.

例题解析
  • 充分条件、必要条件和充要条件的判断

    【例1】 “$m<\frac{1}{4}$”是“关于$x$的一元二次方程$x ^{2}+x+m=0$有实数解”的(  )

    A.充分不必要条件  B.充要条件

    C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

    反思
    (1)判断p是q的什么条件,主要是判断$p \Rightarrow q$及$q \Rightarrow p$这两个命题是否成立,若$p \Rightarrow q$成立,则$p$是$q$的充分条件,同时q是p的必要条件;若$q \Rightarrow p$成立,则$p$是$q$的必要条件,同时$q$是$p$的充分条件;若二者都成立,则$p$与$q$互为充要条件.

    (2)关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断$p \Rightarrow q$及$q \Rightarrow p$的真假时,也可以从集合角度去判断.

    【变式训练1】 若$a, b \in \mathbf{R}$,则“$(a-b) a^{2} < 0$”是“$a < b$”的(  )

    A.充分不必要条件

    B.必要不充分条件

    C.充要条件

    D.既不充分也不必要条件

  • 充分条件、必要条件、充要条件的应用

    【例2】 已知函数$f(x)=4 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-2 \sqrt{3} \cos 2 x-1$.

    (1)当$\frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$时,求$f(x)$的最大值及最小值;

    (2)若$p :\left\{f(x) | f(x) \\ =4 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-2 \sqrt{3} \cos 2 x-1\right.$

    $\frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2} $} ,

    又给定条件q:“$|f(x)-m| < 2$”,且$p$是$q$的充分条件,求实数$m$的取值范围.

    反思
    涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,常利用命题的等价性进行转化,从集合的包含、相等关系来考虑制约关系.

    【变式训练2】 把例2(2)中“且$p$是$q$的充分条件”改为“且$p$是$q$的必要条件”,求实数$m$的取值范围.

  • 充要条件的证明

    【例3】 已知$a b \neq 0$,求证:$a+b=1$的充要条件是$a^{3}+b^{3}+a b-a^{2}-b^{2}=0$.

    反思
    有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件.由“条件”$\Rightarrow$“结论”是证明命题的充分性,由“结论”$\Rightarrow$“条件”是证明命题的必要性.证明过程要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性,要搞清它的叙述格式,避免在论证时将充分性错当必要性证明或将必要性错当充分性证明.

    【变式训练3】 求证:关于$x$的方程$a x^{2}+b x+c=0$有一个根为1的充要条件是$a+b+c=0$.

  • 易错辨析

    易错点 混淆充分性与必要性致错

    【例4】 一次函数$y=-\frac{m}{n} x+\frac{1}{n}$的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(  )

    A.$m > 0, n > 0$   B.$m n < 0$  
    C.$ m < 0, n < 0$   D.$m n > 0$

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