高中数学网定积分在物理中的应用
2.会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题.
定积分在物理中的应用
变速直
线运动
做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数$v=v(t)(v(t) \geqslant 0)$在时间区间$[a, b]$上的定积分,即$\underline{s}=\int_{a}^{b} v(t) d t$
变力做功
如果物体在变力$F(x)$的作用下做直线运动,并且物体沿着与力$F(x)$相同的方向从x=a移动到$x=b(a < b)$,那么变力$F(x)$所做的功为$W=\int_{a}^{b} F(x) d x$
【做一做1】 已知自由落体运动的速率$v=g t$,则物体在下落的过程中,从$t=0$到$t=t_{0}$所走的路程为( )
A. $\frac{1}{2} g t_{0}^{2} \mathrm{B} \cdot g t_{0}^{2}$
C. $\frac{1}{3} g t_{0}^{2} \mathrm{D} \cdot \frac{1}{4} g t_{0}^{2}$
【做一做2】 若某物体在$F(x)=5 x+3$(单位:N)的作用下,沿与力F相同的方向,从$x=0$处运动到$x=5$(单位:$m$)处,则$F(x)$做的功等于( )
A. 75 $\mathrm{JB} .77 .5 \mathrm{J}$
$\mathrm{C.79.5} \mathrm{J} \quad \mathrm{D.80} \mathrm{J}$
解析:$W=\int_{0}^{5} F(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{5}(5 x+3) \mathrm{d} x$
$=\left.\left(\frac{5 x^{2}}{2}+3 x\right)\right|_{0} ^{5}=\frac{125}{2}+15=77.5(\mathrm{J})$故选$B$.
答案:$B$
1.在变速直线运动中,如何求路程、位移?
剖析:在用定积分解决变速直线运动的位移与路程的问题时,分清运动过程中的变化情况是解题的关键,做变速直线运动的物体所经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻$t=a$到时刻$t=b$所经过的路程$S$和位移$S_{1}$分别为
(1)若$v(t) \geqslant 0(a \leqslant t \leqslant b)$,则$s=\int_{a}^{b} v(t) \mathrm{d} t, s 1=\int_{a}^{b} \mathcal{V}(t)_{\mathrm{d} t}$.
(2)若$v(t) \leqslant 0(a \leqslant t \leqslant b)$,则$s=-\int_{a}^{b} v(t) \mathrm{d} t, s 1=\int_{a}^{b} \mathcal{V}(t)_{\mathrm{d} t}$.
(3)若在区间$[a, c] \pm v(t) \geqslant 0$,在区间$[c, b] \pm v(t) < 0$,则$s=\int_{a}^{c} v(t) \mathrm{d} t-\int_{c}^{b} v(t) \mathrm{d} t, s 1=\int_{a}^{b} v(t) \mathrm{d} t$
对于给出速度?时间曲线的问题,关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限,需要注意的是分段函数需分段求路程,然后求和.
2.如何求变力做功?
剖析:(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力$F$的表达式,这是求功的关键.
(2)由功的物理意义,已知物体在变力$F(x)$的作用下,沿力$F(x)$的方向做直线运动,使物体从$x=a$移到$x=b(a < b)$.因此,求功之前还应求出物体移动的起始位置与终止位置.
(3)根据变力做功公式$W=\int_{a}^{b} F(x) \mathrm{d} x$即可求出变力$F(x)$所做的功.
求变速直线运动的路程、位移
【例1】 有一动点$P$沿$x$轴运动,在时间$t$时的速度为$v(t)=8 t-2 t^{2}$(速度的正方向与$x$轴正方向一致).求:
(1)点$P$从原点出发,当$t=6$时,求点$P$离开原点的路程和位移;
(2)点$P$从原点出发,经过时间$t$后又返回原点时的$t$值.
分析:(1)
(2)
反思1.用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.
2.在变速直线运动中,路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度非负或非正的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.如本例第(1)小题求解时,易出现路程和位移相同的错误.
求变力所做的功
【例2】 设有一长25 $cm$的弹簧,若加以100 $N$的力,则弹簧伸长到30 $cm$,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹簧由25 $cm$伸长到40 $cm$所做的功.
分析:先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力$F(x)$的表达式,然后用积分求变力所做的功.
反思
解决变力做功注意以下两个方面:
(1)要将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键的一步.
(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题.
【变式训练2】 如图,在某一温度下,直径为0.2 $m$,高为0.8 $m$,上端为活塞的fun88网上娱乐柱体内某气体的压强$P$(单位:$\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}$)与体积$_{P} V$(单位:$m^{3}$)的函数关系式为$P=\frac{80}{P V}$,而正压力F(单位:$N$)与压强$P$(单位:$\mathrm{N} / \mathrm{m} 2$)的函数关系为$F=\square S$,其中$S$(单位:$m 2$)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半,活塞克服气体压力要做多少功?
利用定积分求解其他物理问题
【例3】$A,B$两站相距7.2 $km$,一辆电车从$A$站开往$B$站,电车开出$t \mathrm{S}$后到达途中的点$C$处,这一段速度为1.2$t(\mathrm{m} / \mathrm{s})$,到$C$处的速度达24 $\mathrm{m} / \mathrm{s}$.从$C$处到$B$站前的$D$处以等速行驶,从$D$处开始刹车,经$ts$后,速度为$(24-1.2 t)(\mathrm{m} / \mathrm{s})$,在$B$处恰好停车.试求:
(1)$A,C$间的距离;
(2)$B,D$间的距离;
(3)电车从$A$站到$B$站所需的时间.
反思本题是利用定积分解决物理问题,分清运动过程中的变化情况是解题的关键.
【变式训练3】 有一横截面面积为4 $\mathrm{cm}^{2}$的水管控制往外流水,打开水管$t \mathrm{s}$末的流速为$v(t)=6 t-t^{2}$(单位:cm/s)$(0 \leqslant t \leqslant 6)$.试求从$t=0 \mathrm{s}$到$t=6 \mathrm{s}$这段时间内流出的水量.
