高中数学网复数代数形式的加、减运算及其几何意义
2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数加法、减法法则及运算律
设复数$z_{1}=a+b \dot{\mathrm{i}}, z_{2}=c+d \mathrm{i}$,其中$a, b, c, d \in \mathbf{R}$,则
$z_{1}+z_{2}=\left(a+b_{1}\right)+\left(c+d_{1}\right) \\ =(a+c)+(b+d)_{1}$
$z_{1}-z_{2}=\left(a+b_{1}\right)-\left(c+d_{1}\right) \\ =(a-c)+(b-d) 1$
复数加法满足的运算律:
对任意$z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathrm{C}$,满足交换律:$z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$,结合律:$\left(z_{1}+z_{2}\right)+z_{3}=z_{1}+\left(z_{2}+z_{3}\right)$.
【做一做1】 已知复数$z_{1}=3+4 i, z_{2}=3-4 i$,则$z_{1}+z_{2}$等于( )
$A.8i$ $B.6$ $C.6+8i$ $D.6-8i$
解析:$z_{1}+z_{2}=(3+4 i)+(3-4 i) \\ =(3+3)+(4-4) i=6$,故选$B$.
答案:$B$
2.复数加法的几何意义
如图,若复数$z_{1,} z_{2}$对应的向量$\overrightarrow{O Z_{1}}, \overrightarrow{O Z_{2}}$不共线,则复数 $Z 1+Z 2$就是以$\overrightarrow{O Z_{1}}, \overrightarrow{O Z_{2}}$为邻边的平行四边形的对角线$\overrightarrow{O Z}$所对应的复数,即复数的加法可以按照向量的加法来进行.这是复数加法的几何意义.
【做一做2】 已知向量$\overrightarrow{O Z_{1}}$对应的复数是$5-4 i$,向量$\overrightarrow{O Z_{2}}$ ?对应的复数是$-5+4 i$,则$\overrightarrow{O Z_{1}}+\overrightarrow{O Z_{2}}$对应的复数是( ）
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .-10+8 \mathrm{i}} & {\mathrm{B.} 10-8 \mathrm{i}} \\ {\mathrm{C.} 0} & {\mathrm{D} .10+8 \mathrm{i}}\end{array}$
解析:由复数加法的几何意义知,$\overrightarrow{O Z_{1}}+\overrightarrow{O Z_{2}}$对应的复数是$(5-4 i)+(-5+4 i)=0$.故选$\mathrm{C}$.
答案:$\mathrm{C}$
3.复数减法的几何意义
复数的减法是加法的逆运算,设$\overrightarrow{O Z_{1}}, \overrightarrow{O Z_{2}}$分别与复数 $z 1, z 2$相对应,且$\overrightarrow{O Z_{1}}, \overrightarrow{O Z_{2}}$不共线,如图,则这两个复数的差$z 1-z 2$与向量$\overrightarrow{O Z_{1}}-\overrightarrow{O Z_{2}}$ ?对应,这就是复数减法的几何意义.即复数 $z 1-z 2$是连接向量$\overrightarrow{O Z_{1}}, \overrightarrow{O Z_{2}}$的终点,并指向被减向量所对应的复数.
【做一做3】 设O是原点,向量$\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$对应的复数分别为$2-3 i,-3+2 i$,则向量$\overrightarrow{B A}$对应的复数是______.
解析:(BA) ?对应的复数是$\frac{3}{C}(2-3 i)-(-3+2 i)=5-5 i$,即$\overrightarrow{B A}$对应的复数为$5-5 i$.
答案:$5-5 i$
1.如何理解复数代数形式的加、减运算法则的合理性?
剖析:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算,其合理性可以从以下几点理解:
(1)当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.
(2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.
(3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行加、减运算.
2.进一步理解复数减法运算的几何意义.
剖析:复数的减法用向量来进行运算时也可实施平行四边形法则.
设$\overrightarrow{O Z}$ ?与复数$a+b \dot{1}$对应,$\overline{O Z_{1}}$ ?与复数$c+d \mathbf{i}$对应, 如图所示,以$\overrightarrow{O Z}$为一条对角线,$\overrightarrow{O Z}_{1}$ 为一边作平行四边形,那么这个平行四边形的另一边$\overrightarrow{O Z_{2}}$) ?所表示的向量就与复数$(a-c)+(b-d) \mathrm{i}$对应.
复数的加、减运算
【例1】 计算:
$(1)(3-5 i)+(-4-i)-(3+4 i)$
$(2)(-7 i+5)-(9-8 i)+(3-2 i)$
分析:根据复数的加法、减法法则进行计算.
反思
复数的加法、减法法则的记忆:
方法一:复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.
方法二:把i看作一个字母,类比多项式加减运算中的合并同类项.
【变式训练1】 计算:(1)$(1+2 i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2 i)$;
$(2)\left(i^{2}+i\right)+|i|+(1+i)$
$(3)(1+2 i)+(3-4 i)-(5+6 i)$
$(4) 5 i-[(3+4 i)-(-1+3 i)]$
复数加、减运算的几何意义
【例2】 在复平面内,$A, B, C$分别对应复数$z_{1}=1+\dot{1}, z_{2}=5+i_{,} z_{3}=3+3 i$,以$AB,AC$为邻边作一个平行四边形$A B D C$,求点D对应的复数$z_{4}$及$A D$的长.
分析:
反思1.根据复数加、减运算的几何意义可以把复数的加、减运算与向量的运算联系起来.
2.利用向量进行复数的加、减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.
3.复数加、减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.
【变式训练2】 已知复平面内平行四边形$ABCD$,点$A$对应的复数为$2+i$,向量$\overrightarrow{B A}$ ?对应的复数为$1+2 i$,向量$\overrightarrow{B C}$对应的复数为$3-i$,求:
(1)点$C,D$对应的复数;
(2)平行四边形$ABCD$的面积.
综合应用
【例3】 设$z_{1}, z_{2} \in \mathbf{C}$,已知$\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1,\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{2}$求$|Z 1-Z 2|$
分析:方法一:设出$z_{1,} z_{2}$的代数形式,利用模的定义求解.
反思1.解决复数问题时,设出复数的代数形式$z=x+y i(x, y \in \mathbf{R})$,利用复数相等或模的概念,列方程求实部、虚部可把复数问题实数化.
2.利用复数加、减运算及模的几何意义,应用数形结合的思想,可以直观简便地解决复数问题.
3.掌握以下常用结论:
在复平面内,$Z_{1}, Z_{2}$对应的点分别为$A, B, z_{1}+z_{2}$对应的点为$C, O$为坐标原点,有
(1)四边形$OACB$为平行四边形;
(2)若$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|$,则四边形$OACB$为矩形;
(3)若$\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$,则四边形OACB为菱形;
(4)若$\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$,且$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|$,则四边形$OACB$为正方形.
【变式训练3】 若复数$z$满足$|z+\mathfrak{i}|+|z-\mathrm{i}|=2$,求$|z+i+1|$的最小值.
