反证法

【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)

①结论的否定,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原命题的结论.

A.①②  B.①②④ 

C.①②③  D.②③

解析:由反证法的定义知,应选C.

答案:C

【做一做2】 否定“自然数$a,b,c$中恰有一个偶数”时,正确的假设为(　　)

A.$a,b,c$都是奇数 

B.$a,b,c$都是偶数

C.$a,b,c$中至少有两个偶数 

D.$a,b,c$中都是奇数或至少有两个偶数

解析:对“恰有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”,故选$D$.

答案:$D$

【例1】 用反证法证明已知a,b均为有理数,且$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$ 都是无理数,求证:$\sqrt{a}+\sqrt{b}$是无理数.

分析:按反证法的步骤,即先否定结论,把假设和已知结合起来,推出矛盾,即假设不成立.

【变式训练1】 已知函数$f(x)=a^{x}+\frac{x-2}{x+1}(a>1)$.用反证法证明方程$f(x)=0$没有负数根.

【例2】 求证:两条相交直线有且只有一个交点.

分析:根据题意写出已知、求证,再用反证法,即否定结论,把假设和已知条件结合起来去推出矛盾.

【变式训练2】 已知函数$y=f(x)$在区间$[a, b]$上的图象连续不间断,且$y=f(x)$在$[a, b]$上单调,$f(a)>0, f(b) < 0$.求证:函数$y=f(x)$在$[a, b]$上有且只有一个零点.

【例3】 已知$a, b, c$是互不相等的实数,求证:由$y=a x^{2}+2 b x+c, y=b x^{2}+2 c x+a$和$y=c x^{2}+2 a x+b$确定的三条抛物线至少有一条与$x$轴有两个不同的交点.

分析:假设三条抛物线都不与
$x$轴有两个不同的交点→演绎推理,利用
$\Delta \leqslant 0$得出矛盾$\rightarrow$原命题得证

【变式训练3】 已知下列三个方程:$x^{2}+4 a x-4 a+3=0, \\ x^{2}+(a-1) x+a^{2}=0, x^{2}+2 a x-2 a=0$至少有一个方程有实根,求实数$a$的取值范围.

【例4】 已知实数$p$满足不等式$(2 p+1)(p+2) < 0$,用反证法证明关于$x$的方程$x^{2}-2 x+5-p^{2}=0$无实根.