合情推理

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.了解合情推理的含义,能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.
知识点
  • 1.归纳推理和类比推理

     

    归纳推理

    类比推理

    定义

    由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)

    由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)

    特征

    归纳推理是由部分整体、由个别一般的推理

    类比推理是由特殊特殊的推理

    【做一做1-1】 如图是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排列下去,则第36颗珠子的颜色是(  )

    blob.png

    A.白色      B.黑色

    C.白色的可能性大      D.黑色的可能性大

    解析:由题图知这串珠子的排列规律是:每5颗一组(前3颗是白色珠子,后2颗是黑色珠子)呈周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子,其颜色与第1颗珠子的颜色相同,故它的颜色一定是白色.

    答案:A

    【做一做1-2】 根据所给出的数塔,猜测123 456×9+7等于(  )

    1×9+2=11

    12×9+3=111

    123×9+4=1 111

    1 234×9+5=11 111

    12 345×9+6=111 111

    A.1 111 110  B.1 111 111

    C.1 111 112  D.1 111 113

    解析:根据所给出的数塔的构成规律,经分析、比较,可猜测123 456×9+7的值是由7个1组成的正整数,故选B.

  • 2.合情推理

    含义

    归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理

    过程

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    拓展提升根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.如人们看到天空中乌云密布、燕子低飞等现象时,会做出即将下雨的判断,这就是推理.数学中通常把能够判断真假的语句称为命题,因而数学推理是由已知命题推出新命题的思维过程;推理的一般分为前提和结论两部分,前提即已知的事实(或假设),结论是由已知判断推出的新判断;推理的一般形式为:前提?结论.如blob.png

    推理可以写成:“因为……,所以……”“如果……,那么……”“根据……,可知……”等,其中“因为”“如果”“根据”的后面是前提,“所以”“那么”“可知”的后面是结论.

    【做一做2】 已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=3, a_{n}-a_{n} \cdot a_{n+1}=1\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right), A_{n}$表示数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项之积,则blob.png______. 

    解析:由$a_{1}=3, a_{1}-a_{1} a_{2}=1$,得$a_{2}=\frac{2}{3}$;由$a_{2}=\frac{2}{3}, \square 2-\square 2 \square 3=1$,得$a_{3}=-\frac{1}{2}$;由$a_{3}=-\frac{1}{2}, \square 3-\square 3 \square 4=1$,得$a_{4}=3$,所以$a_{1}=a_{4}=3$,因此可归纳出数列$\left\{a_{n}\right\}$的项从$a_{1}$开始呈周期性变化,最小正周期为3.

    而$a_{1} a_{2} a_{3}=3 \times \frac{2}{3} \times\left(-\frac{1}{2}\right) \\ =-1,2016=672 \times 3$,

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    答案:1

重难点
  • 1.归纳推理的特点有哪些?

    剖析:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是未知的一般现象,该结论往往超越了前提所包含的范围.

    (2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实还需经过逻辑证明和实践检验,因此归纳推理不能作为数学证明的工具.

    (3)一般地,归纳的个别现象越多,越具有代表性,推广的一般性结论也就越可靠.

    (4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现新的事实,获得新的结论.

  • 2.类比推理的特点有哪些?

    剖析:(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究的事物的属性,是以已有的认识为基础,类比出新的结果.

    (2)类比推理是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.类比的两类对象的相似性越多、相似的性质与推测的性质之间越相关,类比得出的结论就越可靠.

    (3)由于类比推理得到的结论也具有猜测性,结论是否正确还需经过逻辑证明和实践的检验,因此类比推理也不能作为数学证明的工具,但它却具有触类旁通、提供线索、比较思考、举一反三等一系列启迪思维的作用,而且也能帮助我们加快、加深对新概念、新公式、新规律的理解、记忆及应用.

    (4)类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.在数学中,我们可以从已经解决的问题和已经获得的知识出发,通过类比提出新问题,获得新发现.

  • 3.数学中常见的类比有哪些?

    剖析:数学中常见的类比:直线与平面、平面与空间、方程与不等式、一元与多元、等差数列与等比数列等.

    例如:类比下列平面图形的性质,写出空间图形的性质.

    平面图形的性质

    空间图形

    的性质

    同一平面内两条直线无公共点,则它们互相平行

    同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行

    平行四边形(对边平行且相等)

    矩形(对角线长度相等)

    正方形(外接fun88网上娱乐、内切fun88网上娱乐的fun88网上娱乐心重合)

    正三角形(外接fun88网上娱乐、内切fun88网上娱乐的fun88网上娱乐心重合)

    等面积法

    ①空间中的两个平面无公共点,则它们互相平行

    ②空间中平行于同一个平面的两个平面平行

    ③平行六面体(相对面平行且全等)

    ④长方体(对角面全等)

    ⑤正方体(外接球、内切球的球心重合)

    ⑥正四面体(外接球、内切球的球心重合)

    ⑦等体积法

例题解析
  • 数列中的归纳推理

    【例1】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+1(n=1,2,3, \cdots)$.

    (1)求$a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$;

    (2)归纳猜想通项$a_{n}$的表达式.

    分析:由$a_{1}$求$a_{2} \rightarrow$zai由$a_{2}$求$a_{3} \rightarrow$由$a_{3}$求$a_{4} \rightarrow$由$a_{4}$求$a_{5} \rightarrow$分析$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的特征→猜想通项公式$a_{n}$

    反思

    归纳推理具有从特殊到一般、从具体到抽象的认知功能,在求数列的通项公式或前n项和的问题时,经常用归纳推理得出关于前有限项的结论,此时要注意把它们的表达式的形式进行统一,以便于寻找规律,归纳猜想出结论.其具体步骤是:

    (1)通过条件求得数列中的前几项;

    (2)观察数列的前几项寻求项的规律,猜测数列的通项公式.

    【变式训练1】 已知下列一组等式:

    $s_{1}=1$

    $s_{2}=2+3=5$

    $s_{3}=4+5+6=15$

    $s_{4}=7+8+9+10=34$

    $s_{5}=11+12+13+14+15=65$

    $s_{6}=16+17+18+19+20+21=111$

    $\ldots \ldots .$

    (1)写出$S_{7}$对应的等式;

    (2)求出$S_{n}$对应等式的第一项,并写出$S_{n}$对应的等式.

  • 其他形式的归纳推理

    【例2】 根据下图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为_______. 

    blob.png

    反思

    图形中的数列问题也是一类考查归纳推理的热点问题,归纳的途径有两条:一是按每个图形中单位图形(要考查的几何元素,如本题中的线段)的数目来归纳;二是按图形变化的特点来归纳.

    【变式训练2】 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第$n$个三角形数为 $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2} n 2+\frac{1}{2} n$记第$n$个$k$边形数为$\mathrm{N}(\mathrm{n}, \mathrm{k})(\mathrm{k} \geqslant 3)$,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

    三角形数$N(n, 3)=\frac{1}{2} n 2+\frac{1}{2} \mathrm{n}$,

    正方形数$N(n, 4)=n^{2}$,

    五边形数$N(n, 5)=\frac{3}{2} n 2-\frac{1}{2} \mathrm{n}$,

    六边形数$N(n, 6)=2 n^{2}-n$,

    …… ……

    可以推测N$N(n, k)$的表达式,由此计算$N(10,24)=$_______.

  • 类比推理的应用

    【例3】 请用类比推理完成下表:

    平面

    空间

    三角形的两边之和大于第三边

    三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

    三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半

    三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一

    平面

    空间

    三角形的面积等于其内切fun88网上娱乐半径与三角形周长的乘积的一半

     

    反思

    类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择恰当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.

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