高中数学网数学归纳法
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
1.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
第一步,归纳奠基:证明当n取第一个值$n_{0}\left(n_{0} \in \mathbf{N}^{*}\right)$时命题成立.
第二步,归纳递推:假设$n=k\left(k \geqslant n_{0}, k \in \mathbf{N}^{*}\right)$时命题成立,证明当$n=k+1$时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从$n_{0}$开始的所有正整数$n$都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
【做一做1】 用数学归纳法证明$1+a+a^{2}+\cdots+a^{n+1}=\frac{1-a^{n+2}}{1_{1} a}(a \neq 1)$,在验证当$n=1$时,等式左边为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } 1} & {\text { B. } 1+a} \\ {\text { C.l }+a+a^{2}} & {\text { D. } 1+a^{2}+a^{3}}\end{array}$
解析:因为左边式子中$a$的最高指数是$n+1$,所以当$n=1$时,$a$的最高指数为2,根据左边式子的规律可得,当$n=1$时,左边$=1+a+a^{2}$.
答案:C
【做一做2】 若$S_{k}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2 k}$,则$s k+1$为( )
$A . S_{k}+\frac{1}{2 k+2} \quad$ B. $S k+\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}$
$\mathrm{C} . S_{k}+\frac{1}{2 k+1}-\frac{1}{2 k+2} \quad$ D. $s k+\frac{1}{2 k+2}-\frac{1}{2 k+1}$
解析:由题意知式子右边各分数的分母是连续正整数,则由
$S_{k}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2 k},①$
得$S_{k+1}= \\ \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2(k+1)} \cdot②$
由②-①,得$S_{k+1}-S_{k}=\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2(k+1)}-\frac{1}{k+1} \\ =\frac{1}{2 k+1}-\frac{1}{2(k+1)}$.
故$S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2 k+1}-\frac{1}{2(k+1)}$,故选$C$.
答案:$C$
2.数学归纳法的框图表示
1.如何理解数学归纳法?
剖析:数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法,证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点:
(1)两个步骤缺一不可.
(2)在第一步中,$n$的初始值不一定从1开始,也不一定只取一个数(有时需取$n=n_{0}, n_{0}+1$等),证明时应视具体情况而定.
(3)在第二步中,证明当$n=k+1$命题成立时,必须使用假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效.
(4)证明当$n=k+1$命题成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出假设里给出的形式,以便使用假设,然后再去凑出当$n=k+1$时的结论,这样就能有效减少论证的盲目性.
2.运用数学归纳法要注意哪些?
剖析:正确运用数学归纳法应注意以下几点:
(1)找准起点.
数学归纳法的第一个步骤是要找一个数$n_{0}$,这个$n_{0}$就是我们要证明的命题对象的最小正整数,这个正整数并不一定都是“1”,因此“找准起点”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.
(2)递推是关键.
数学归纳法的实质在于递推,所以从“$n=h$”到“$n=k+1$”的过程,必须把归纳假设“$n=h$”命题成立作为条件来导出“$n=k+1$”时命题成立.在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.
(3)正确寻求递推关系.
我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢?
①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的.
②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察$n$处在哪个位置.
③在书写$f(k+1)$时,一定要把包含$f(k)$的式子写出来,尤其是$f(k)$中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明
$\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right) \cdots \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) \\ =\frac{n+1}{2 n}\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^{\prime}\right)$
分析:第一步先验证等式成立的第一个值$n_{0}$;第二步在假设$n=k$等式成立的基础上,等式左边加上$n=k+1$时新增的项,整理出等式右边的项.
【变式训练1】 用数学归纳法证明$1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2} \\ =\frac{1}{3} n(4 n 2-1)\left(\mathrm{n} \in \mathbf{N}^{*}\right)$.
用数学归纳法证明不等式
【例2】 已知函数$f(x)=\frac{1}{3} x 3-x$,数列$\{\mathrm{an}\}$满足条件$: \mathrm{a} 1 \geqslant 1, a_{n+1} \geqslant f\left(a_{n}+1\right)$,证明:$a_{n} \geqslant 2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.
分析:
【变式训练2】 用数学归纳法证明对一切大于1的自然数$n$,不等式$\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right) \cdots \cdots\left(1+\frac{1}{2 n-1}\right)>\frac{\sqrt{2 n+1}}{2}$成立.
用数学归纳法证明几何问题
【例3】 有n个fun88网上娱乐,其中每两个fun88网上娱乐相交于两点,并且每三个fun88网上娱乐都不相交于同一点,求证:这$n$个fun88网上娱乐把平面分成$f(n)=n^{2}-n+2$部分.
分析:解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设.
反思用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成$(k+1)$个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在分析不出来的情况下,将$n=k+1$和$n=k$分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.
【变式训练3】 平面内有$n\left(n \in \mathbf{N}^{*}, n \geq 2\right)$条直线,其中任何两条不平行、任何三条不过同一点,求证:$n$条直线的交点个数为$f(n)=\frac{n(n-1)}{2}$
易错辨析
易错点:因不符合数学归纳法假设要求而致错
【例4】 用数学归纳法证明$1+4+7+\cdots+(3 n-2)=\frac{1}{2} n(3 n-1)$
