直角三角形的射影定理
2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
A.点 B.线段
C.与MN等长的线段 D.直线
解析:当$M N \perp l$时,射影是一个点;当$MN$与$l$不垂直时,射影是一条线段;特别地,当$M N / / l$或$MN$在$l$上时,射影与$MN$等长,线段$MN$的射影不可能是直线.
答案:D
2.射影定理
文字语言
直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项;两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项
符号语言
在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A C \perp C B, C D \perp A B$于点D,则$C D^{2}=B D \cdot A D$;$A C^{2}=A D \cdot A B$;
$B C^{2}=B D \cdot B A$图形语言
作用
确定成比例的线段
名师点拨 勾股定理:$A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}, A D^{2}+C D^{2}=A C^{2}, \\ B D^{2}+C D^{2}=B C^{2}$2.面积关系
面积关系:$A C \cdot B C=A B \cdot C D=2 S_{\triangle A B C} \frac{S_{\Delta A C D}}{S_{\Delta C B D}} \\ =\frac{A D}{B D}=\frac{A C^{2}}{B C^{2}}$【做一做2-1】 如图,已知在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A C \perp C B, C D \perp A B$于点D,且$C D=4$,则$A D \cdot D B$等于( )
A.16 B.4
C.2 D.不确定
解析:$\because A C \perp C B, C D \perp A B$,
$\therefore A D \cdot D B=C D^{2}$.
又$\because C D=4, \therefore A D \cdot D B=4^{2}=16$.
答案:$A$
【做一做2-2】 如图,已知在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A C \perp B C$,点$C$在$AB$上的正射影为点$D$,且$A C=3, A D=2$,则AB=_________.
解析:$\because A C \perp C B$,
又$\therefore $点D是点$C$在$AB$上的正射影,
$\therefore C D \perp A B, \therefore A C^{2}=A D \cdot A B$
又$\because A C=3, A D=2$
$\therefore A B=\frac{A C^{2}}{A D}=\frac{9}{2}$
答案:$\frac{9}{2}$
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A C \perp C B, C D \perp A B$于点$D$,则由射影定理可得$A C^{2}=A D \cdot A B, B C^{2}=B D \cdot B A$,
则$A C^{2}+B C^{2}=A D \cdot A B+B D \cdot B A \\ =(A D+B D) \cdot A B=A B^{2}$,即$A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
题型一 与射影定理有关的计算问题
【例1】 若$CD$是$\mathrm{Rt} \triangle A C B$斜边$AB$上的高,$A B=25, A C=20$,试确定$DB$和$CD$的长.
分析:先用射影定理求出$AD$,从而求出$DB$,再用
射影定理求出$CD$.
反思
1.本题可先用勾股定理求出$BC$,再用射影定理求出$BD$,最后用勾股定理求出$CD$;此外还有其他方法.2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线段$AC,BC,CD,AD,DB,AB$,若已知其中任意两条线段的长,就可以计算出其余线段的长.
【变式训练1】 如图,在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$CD$为斜边$AB$上的高.若$A D=2 \mathrm{cm} . D B=6 \mathrm{cm}$,求$C D, A C, B C$的长.
题型二 与射影定理有关的证明问题
【例2】 如图,在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$\angle B A C=90^{\circ}, A D \perp B C$于点D,BE平分$\angle A B C$交AC于点$E, E F \perp B C$于点F.求证$: E F : D F=B C : A C$.
分析:先由射影定理得$A C^{2}=C D \cdot B C$,即$\frac{A C}{C D}=\frac{B C}{A C}$.又由$E F / / A D$,得$\frac{A E}{D F}=\frac{A C}{D C}$,通过中间变量即可得证.
反思
利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较常见,在解题过程中,应弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例的基本性质加以灵活运用.【变式训练2】 如图,已知$\angle B A C=90^{\circ}, A D \perp B C D E \perp A B, D F \perp A C$,垂足分别为$D,E,F$.求证:$\frac{A B^{3}}{A C^{3}}=\frac{B E}{C F}$
题型三 易错辨析
易错点:射影定理记忆不牢而致错
【例3】 在$\mathrm{Rt} \triangle A C B$中,$\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$于点D,若$B D \quad \therefore A D=1 : 9$,则$\tan \angle B C D=$_________.