极坐标系

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解极坐标系的概念.
2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.掌握极坐标和直角坐标的互化公式,能进行极坐标和直角坐标的互化.
知识点
  • 1.极坐标系的概念

    在平面内取一个定点$O$,叫做极点;自极点$O$引一条射线$O x$,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

  • 2.极坐标的表示

    (1)对于平面内任意一点$M$,极点$O$与点$M$的距离$|O M|$|叫做点M的极径,记为$\rho$;以极轴$O x$为始边,射线$O M$为终边的角$x O M$叫做点M的极角,记为$\theta$.有序数对$(p, \theta)$叫做点M的极坐标,记为$M(\rho, \theta)$.

    一般地,不作特殊说明时,我们认为$\rho \geqslant 0, \theta$可取任意实数.

    (2)一般地,极坐标$(\rho, \theta)$与$(\rho, \theta+2 k \pi)(k \in \mathbf{Z})$表示同一个点.特别地,极点$O$的坐标为$(0, \theta)(\theta \in \mathbf{R})$.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

    如果规定$\rho>0,0 \leqslant \theta < 2 \pi$π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标$(\rho, \theta)$表示;同时,极坐标$(\rho, \theta)$表示的点也是唯一确定的.

    【做一做1-1】 若$\rho_{1}=\rho_{2} \neq 0, \theta_{1}+\theta_{2}=0$,则点$M_{1}\left(\rho_{1}, \theta_{1}\right)$与点$M_{2}\left(\rho_{2}, \theta_{2}\right)$的位置关系是(  )

    A.关于极轴所在的直线对称

    B.关于极点对称

    C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称

    D.两点重合

    答案:A

    【做一做1-2】 关于极坐标系的下列叙述:

    ①极轴是一条射线;

    ②极点的极坐标是$(0,0)$;

    ③点$(0,0)$表示极点;

    ④点$M\left(4, \frac{\pi}{4}\right)$与点$N\left(4, \frac{5 \pi}{4}\right)$表示同一个点;

    ⑤动点$M(5, \theta)(\theta \in \mathbf{R})$的轨迹是以极点为fun88网上娱乐心,以5为半径的fun88网上娱乐.

    其中,叙述正确的序号是_________. 

    解析:设极点为$O$,极轴就是射线$O x$,①正确;极点$O$的极径$\rho=0$,极角$\theta$是任意实数,极点的极坐标应为$(0, \theta)(\theta \in \mathbf{R})$,②错误;给定极坐标$(0,0)$,可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点$M$与

    点N的极角分别是$\theta_{1}=\frac{\pi}{4}, \theta 2=\frac{5 \pi}{4}$,二者的终边互为反向延长线,④错误;由于动点$M(5, \theta)(\theta \in \mathbf{R})$的极径$\rho=5$,极角是任意角,故点$M$的轨迹是以极点$O$为fun88网上娱乐心,以5为半径的fun88网上娱乐,⑤正确.

    答案:①③⑤

  • 3.极坐标和直角坐标的互化

    (1)互化的前提条件

    ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与$x$轴的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.

    (2)互化公式

    ①极坐标化为直角坐标$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \cos \theta} \\ {y=\rho \sin \theta}\end{array}\right.$

    ②直角坐标化为极坐标$\left\{\begin{array}{l}{\rho^{2}=x^{2}+y^{2}} \\ {\tan \theta=\frac{y}{x}(x \neq 0)}\end{array}\right.$

    名师点拨

    1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等.

    2.在通常情况下,由$\tan \theta$确定角$\theta$时,应根据点$P$所在象限取最小正角.在这里要注意:当$x \neq 0$时,角$\theta$才能由$\tan \theta=\frac{y}{x}$按上述方法确定.当$x=0$时,又分三种情况:(1)当$x=0, y=0$时,$\theta$可取任何值;(2)当$x=0, y>0$时,可取$\theta=\frac{\pi}{2}$;(3)当$x=0, y < 0$时,可取$\theta=\frac{3 \pi}{2}$.

    【做一做2-1】若点P的直角坐标为$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$,则它的极坐标可以是(  )

    A. $\left(2, \frac{\pi}{4}\right) \mathrm{B} \cdot\left(2, \frac{3 \pi}{4}\right) \mathrm{C} \cdot\left(2, \frac{5 \pi}{4}\right) \mathrm{D} \cdot\left(2, \frac{7 \pi}{4}\right)$

    答案:B

    【做一做2-2】 将极坐标$\left(2, \frac{3 \pi}{2}\right)$化为直角坐标为(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot(0,2)} & {\mathrm{B} \cdot(0,-2)} \\ {\mathrm{C} \cdot(2,0)} & {\mathrm{D} \cdot(-2,0)}\end{array}$

    答案:B

重难点
  • 1.极坐标系的四要素

    剖析极坐标系的要素是:(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角度单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角$\theta$的始边是极轴,它的终边随着$\theta$的大小和正负而位于不同的位置;$\theta$的正方向通常取逆时针方向,$\theta$的值一般是以弧度为单位的(但不作机械规定);点$M$的极径$\rho$表示点$M$与极点$O$的距离$|O M|$,因此$\rho \geqslant 0$.

  • 2.极坐标和直角坐标的相同点和不同点

    剖析极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系,它由极点$O$与极轴$O x$组成.坐标系中的点的坐标用有序实数对$(\rho, \theta)(\rho \geqslant 0)$表示.平面直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成$x$轴和$y$轴,点的坐标用有序实数对$(x, y)$表示.

    在平面直角坐标系中,点与有序实数对即坐标$(x, y)$是一一对应的,但在极坐标系中,显然一个有序实数对$(\rho, \theta)$只能与一个点对应,但一个点$P$却可以与无数个有序实数对$(\rho, \theta)$对应,也就是说平面上一点的极坐标是不唯一的,极坐标系中的点与有序实数对$(\rho, \theta)$不是一一对应的.

例题解析
  • 极坐标系中点的表示

    【例1】 写出图中各点的极坐标,其中$\rho \geqslant 0, \theta \in[0,2 \pi)$.

    blob.png

    分析:欲确定点的位置,需先确定$\rho$和$\theta$的值.

    反思

    1.写点的极坐标要注意顺序:极径$\rho$在前,极角$\theta$在后,不能把顺序颠倒了.

    2.点的极坐标是不唯一的,若题目条件中含有$\rho \geqslant 0,0 \leqslant \theta < 2 \pi$,则除极点外,点的极坐标是唯一的.

    【变式训练1】 在极坐标系中,画出点$A\left(1, \frac{\pi}{4}\right), B\left(2, \frac{3 \pi}{2}\right), C\left(3,-\frac{\pi}{4}\right), D\left(4, \frac{9 \pi}{4}\right)$.

  • 对称问题

    【例2】 已知$Q\left(2, \frac{4 \pi}{15}\right)$,分别求满足下列条件的点的极坐标(规定:$\rho>0,0 \leqslant \theta < 2 \pi )$):

    (1)$P_{1}$是点$Q$关于极点$O$的对称点;

    (2)$P_{2}$是点$Q$关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点;

    (3)$P_{3}$是点$Q$关于极轴的对称点.

    分析:找准对称问题中的关键,极径不变,极角根据条件数形结合求解.

    反思
    在点与点的位置关系中,$(\rho, \theta)$关于极点的对称点为$\left(\varrho_{2}, \theta+\pi+2 k \pi\right)(k \in \mathbf{Z})$;关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为$(\rho, \pi-\theta+2 k \pi)(k \in \mathbf{Z})$(k∈Z);关于极轴的对称点为$(\rho,-\theta+2 k \pi)(k \in \mathbf{Z})$.

    【变式训练2】 若点M的极坐标是$\left(2,-\frac{\pi}{6}\right)$,则它关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标可以是(  )

    A. $\left(2, \frac{11 \pi}{6}\right) \mathrm{B} \cdot\left(2, \frac{7 \pi}{6}\right)$

    C. $\left(2, \frac{5 \pi}{6}\right) \mathrm{D} \cdot\left(2,-\frac{11 \pi}{6}\right)$

  • 极坐标与直角坐标的互化

    【例3】 (1)将下列各点的极坐标化为直角坐标:

    ①$\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$②$\left(6,-\frac{\pi}{3}\right)$;③$(5, \pi)$.

    (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标$(\rho>0,0 \leqslant \theta < 2 \pi)$:

    ①$(\sqrt{3}, 3)$②$(-1,-1)$;③$(-3,0)$.

    分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \cos \theta} \\ {y=\rho \sin \theta}\end{array}\right.$

    及$\left\{\begin{array}{l}{\rho^{2}=x^{2}+y^{2}} \\ {\tan \theta=\frac{y}{x}(x \neq 0)}\end{array}\right.$进行求解.

    【变式训练3】 (1)将下列各点的极坐标化为直角坐标: 

    ①$\left(8, \frac{2 \pi}{3}\right)$②$\left(4, \frac{11 \pi}{6}\right)$;③$(2,-\pi)$.

    (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ < 2π):

    ①$(-5 \sqrt{3}, 5)$②$(7,-7)$;③$(2,-\pi)$. 

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