不等式的基本性质
2.会利用基本不等式的性质证明不等式和比较大小.
1.两个实数大小的比较
$(1) a>b \Leftrightarrow a-b>0$
$(2) a=b \Leftrightarrow a-b=0$
$(3) a < b \Leftrightarrow a-b < 0$
2.不等式的基本性质
(1)如果$a>b$,那么$b < a$;如果$b < a$,那么$a> b$,即$a>b \Leftrightarrow b < a$.
(2)如果$a>b$,$b>c$,那么$a>c$,即$a>b, b>c \Rightarrow a>c$.
(3)如果$a>b$,那么$a+c>b+c$.
(4)如$a>b$,$c>0$,那么$a c>b c$;如果$a>b$,$c < 0$,那么$a c < b c$.
(5)如果$a>b>0$,那么$a^{n}>b^{n}(n \in \mathbf{N}, n \geqslant 2)$.
(6)如果$a>b>0$,那么$\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}(n \in \mathbf{N}, n \geqslant 2)$.
3.作差比较法
(1)理论依据:$a_{-} b>0 \Leftrightarrow a>b ; \\ a_{-} b=0 \Leftrightarrow a=b ; a-b < 0 \Leftrightarrow a < b$
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
归纳总结 1.0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.
2.如果$a>b, c>d$,那么$a+c>b+d$.
3.如果$a>b>0, c>d>0$,那么$a c>b d$.
4.如果$a b>0$,且$a>b$,那么$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.
【做一做1】 若$a > b$,则下列不等式一定成立的是( )
A.$\frac{b}{a} < 1$ B.$\frac{a}{b} > 0$ C.$-a > -b$ D.$a-b > 0$
答案:D
【做一做2】 若$a < 0,-1 < b < 0$,则有( )
A. $ a > a b > a b^{2} $ B. $a b^{2} > a b > a $
C. $ a b > a >a b^{2} $ D. $a b > a b^{2} > a $
解析:$ \because a < 0,-1 < b < 0, \therefore a b > 0, a b^{2} < 0 $ 故排除$A,B$选项.又$0 < b ^{2} < 1, \therefore a b^{2} > a $ 故选$D$.
答案:$D$
【做一做3】 已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x>a} \\ {x \geq b}\end{array}\right.$的解集为$\{x | x \geqslant b\}$,则$a$与$b$的大小关系是_________.
答案:$b>a$
1.使用不等式的性质时要注意的问题
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如$a \leqslant b, b < c \Rightarrow a < c$.(2)在乘法法则中,要特别注意乘数$c$,例如,当$c \neq 0$时,有$a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$;若无$c \neq 0$这个条件,则$a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$就是错误结论(当$c=0$时,取“$=$”).(3)$a>b>0 \Rightarrow a^{n}>b^{n>0}$成立的条件是“$n$为大于0的数”,如果去掉“$n$为大于0的数”这个条件,取$n=-1, a=3, b=2$,那么就会出现$3^{-1}>2^{-1}$,
即 $\frac{1}{3}>\frac{1}{2}$ 的错误结论.
2.不等式性质中的“$\Rightarrow$”和“$\Leftrightarrow$”表示的意思
剖析:在不等式的基本性质中,条件和结论的逻辑关系有两种:“$\Rightarrow$”与“$\Leftrightarrow$”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.这就要求必须熟记与区别不同性质的条件.如
$a a>b, a b>0 \Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$,而若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$,则可能有$a>b, a b>0$,也可能有$a < 0 < b$,即“$a> b, a b>0$”与“$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$”是不可逆关系.
3.文字语言与数学符号语言之间的转换
剖析:
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
$>$
至多
$\leqslant$
小于
$<$
至少
$\geq$
大于等于
$\geq$
不少于
$\geq$
小于等于
$\leqslant$
不多于
$\leqslant$
在数学命题中,文字语言的表述通常要“翻译”成相应的数学符号语言,只有准确地转换,才能正确地解答问题.
题型一 不等式的基本性质
【例1】 若$ a, b, c \in \mathbf{R}, a > b $,则下列不等式成立的是( )
A.$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B.$a 2 > b 2$ C.$\frac{a}{c^{2}+1} > \frac{b}{c^{2}+1}$ D.$a|c| > b|c|$
反思
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取0、正数、负数等.
【变式训练1】 判断下列命题的真假,并简述理由.
(1)若$a>b, c>d$,则$a c>b d$;
(2)若$a>b>0, c>d>0$,则$\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$
(3)若$a>b, c < d$,则$a-c>b-d$;
(4)若$a>b$,则$a^{n}>b^{n}, \sqrt[n]{\mathrm{a}}>\sqrt[n]{b}(n \in \mathbf{N}, n \geqslant 2)$.
题型二 用作差法比较大小
【例2】 当$a \neq 0$时,比较$\left(a^{2}+\sqrt{2} a+1\right)(a 2-\sqrt{2} a+1)$与$(a 2+a+1)(a 2-a+1)$的大小.
分析:比较两个数的大小,将两数作差,若差值为正,则前者大;若差值为负,则后者大.
反思
1.用作差法比较两个数(式)的大小时,要按照“三步一结论”的步骤进行,即:作差$\longrightarrow$变形$\longrightarrow$ 定号$\longrightarrow$结论,其中变形是关键,定号是目的.2.在变形中,一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断,变形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等.
3.在定号中,若为几个因式的积,需对每个因式先定号,当符号不确定时,需进行分类讨论.
【变式训练2】 已知$a>b>0$,比较 $\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{3}+b^{3}}$ 与 $\frac{a-b}{a+b}$的大小.
题型三 利用不等式的基本性质求范围
【例3】 已知$60 < x < 84,28 < y < 33$,则$x-y$的取值范围为_________,$\frac{x}{y}$的取值范围
为_________.
反思
本题不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围,应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围.在有些题目中,还要注意整体代换的思想,即弄清要求与已知“范围”间的联系.
【变式训练3】 已知$-1 < a+b < 3$且$2 < a-b < 4$,求$2 a+3 b$的取值范围.
题型四 易错辨析
易错点 同向不等式相加时,忽视前提条件致错
【例4】 已知$-\frac{\pi}{2} \leqslant \alpha<\beta \leqslant \frac{\pi}{2}$,求 $\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\alpha-\beta}{2}$的取值范围.
反思
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.