不等式的基本性质

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.掌握不等式的基本性质.
2.会利用基本不等式的性质证明不等式和比较大小.
知识点
  • 1.两个实数大小的比较

    $(1) a>b \Leftrightarrow a-b>0$

    $(2) a=b \Leftrightarrow a-b=0$

    $(3) a < b \Leftrightarrow a-b < 0$

  • 2.不等式的基本性质

    (1)如果$a>b$,那么$b < a$;如果$b     < a$,那么$a>        b$,即$a>b \Leftrightarrow b < a$.    

    (2)如果$a>b$,$b>c$,那么$a>c$,即$a>b, b>c \Rightarrow a>c$.

    (3)如果$a>b$,那么$a+c>b+c$.

    (4)如$a>b$,$c>0$,那么$a c>b c$;如果$a>b$,$c < 0$,那么$a c < b c$.

    (5)如果$a>b>0$,那么$a^{n}>b^{n}(n \in \mathbf{N}, n \geqslant 2)$.

    (6)如果$a>b>0$,那么$\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}(n \in \mathbf{N}, n \geqslant 2)$.

  • 3.作差比较法

    (1)理论依据:$a_{-} b>0 \Leftrightarrow a>b ; \\ a_{-} b=0 \Leftrightarrow a=b ; a-b < 0 \Leftrightarrow a < b$

    (2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.

    归纳总结  1.0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.

    2.如果$a>b, c>d$,那么$a+c>b+d$.

    3.如果$a>b>0, c>d>0$,那么$a c>b d$.

    4.如果$a b>0$,且$a>b$,那么$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

    【做一做1】 若$a > b$,则下列不等式一定成立的是(  )

    A.$\frac{b}{a} < 1$   B.$\frac{a}{b} > 0$   C.$-a > -b$   D.$a-b > 0$

    答案:D

    【做一做2】 若$a < 0,-1 < b < 0$,则有(  )

    A. $ a > a b > a b^{2} $ B. $a b^{2} > a b > a $

    C. $ a b > a >a b^{2} $ D. $a b > a b^{2} > a $

    解析:$ \because a < 0,-1 < b < 0, \therefore a b > 0, a b^{2} < 0 $ 故排除$A,B$选项.又$0 < b ^{2} < 1, \therefore a b^{2} > a $ 故选$D$.

    答案:$D$

    【做一做3】 已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x>a} \\ {x \geq b}\end{array}\right.$的解集为$\{x | x \geqslant b\}$,则$a$与$b$的大小关系是_________. 

    答案:$b>a$

重难点
  • 1.使用不等式的性质时要注意的问题

    剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如$a \leqslant b, b < c \Rightarrow a < c$.(2)在乘法法则中,要特别注意乘数$c$,例如,当$c \neq 0$时,有$a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$;若无$c \neq 0$这个条件,则$a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$就是错误结论(当$c=0$时,取“$=$”).(3)$a>b>0 \Rightarrow a^{n}>b^{n>0}$成立的条件是“$n$为大于0的数”,如果去掉“$n$为大于0的数”这个条件,取$n=-1, a=3, b=2$,那么就会出现$3^{-1}>2^{-1}$,

    即 $\frac{1}{3}>\frac{1}{2}$ 的错误结论.

  • 2.不等式性质中的“$\Rightarrow$”和“$\Leftrightarrow$”表示的意思

    剖析:在不等式的基本性质中,条件和结论的逻辑关系有两种:“$\Rightarrow$”与“$\Leftrightarrow$”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.这就要求必须熟记与区别不同性质的条件.如

    $a a>b, a b>0 \Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$,而若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$,则可能有$a>b, a b>0$,也可能有$a < 0     < b$,即“$a>        b, a b>0$”与“$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$”是不可逆关系.    

  • 3.文字语言与数学符号语言之间的转换

    剖析:

    文字语言

    数学符号

     

    文字语言

    数学符号

    大于

    $>$

    至多

    $\leqslant$

    小于

    $<$

    至少

    $\geq$

    大于等于

    $\geq$

    不少于

    $\geq$

    小于等于

    $\leqslant$

    不多于

    $\leqslant$

    在数学命题中,文字语言的表述通常要“翻译”成相应的数学符号语言,只有准确地转换,才能正确地解答问题. 

例题解析
  • 题型一 不等式的基本性质

    【例1】 若$ a, b, c \in \mathbf{R}, a > b $,则下列不等式成立的是(  ) 

    A.$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$   B.$a 2 > b 2$   C.$\frac{a}{c^{2}+1} > \frac{b}{c^{2}+1}$   D.$a|c| > b|c|$

    反思 

    对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取0、正数、负数等.

    【变式训练1】 判断下列命题的真假,并简述理由.

    (1)若$a>b, c>d$,则$a c>b d$;

    (2)若$a>b>0, c>d>0$,则$\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$

    (3)若$a>b, c < d$,则$a-c>b-d$;

    (4)若$a>b$,则$a^{n}>b^{n}, \sqrt[n]{\mathrm{a}}>\sqrt[n]{b}(n \in \mathbf{N}, n \geqslant 2)$.

  • 题型二 用作差法比较大小

    【例2】 当$a \neq 0$时,比较$\left(a^{2}+\sqrt{2} a+1\right)(a 2-\sqrt{2} a+1)$与$(a 2+a+1)(a 2-a+1)$的大小.

    分析:比较两个数的大小,将两数作差,若差值为正,则前者大;若差值为负,则后者大.

    反思
    1.用作差法比较两个数(式)的大小时,要按照“三步一结论”的步骤进行,即:作差$\longrightarrow$变形$\longrightarrow$ 定号$\longrightarrow$结论,其中变形是关键,定号是目的.

    2.在变形中,一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断,变形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等.

    3.在定号中,若为几个因式的积,需对每个因式先定号,当符号不确定时,需进行分类讨论.

    【变式训练2】 已知$a>b>0$,比较 $\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{3}+b^{3}}$ 与 $\frac{a-b}{a+b}$的大小.

  • 题型三 利用不等式的基本性质求范围

    【例3】 已知$60 < x < 84,28 < y < 33$,则$x-y$的取值范围为_________,$\frac{x}{y}$的取值范围


    为_________. 

    反思

    本题不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围,应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围.在有些题目中,还要注意整体代换的思想,即弄清要求与已知“范围”间的联系.

    【变式训练3】 已知$-1 < a+b < 3$且$2 < a-b < 4$,求$2 a+3 b$的取值范围.

  • 题型四 易错辨析

    易错点 同向不等式相加时,忽视前提条件致错

    【例4】 已知$-\frac{\pi}{2} \leqslant \alpha<\beta \leqslant \frac{\pi}{2}$,求 $\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\alpha-\beta}{2}$的取值范围.

    反思 

    求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.

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