用数学归纳法证明不等式举例

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.通过教材掌握几个有关正整数n的结论.
2.会用数学归纳法证明不等式.
知识点
  • 1.本节的有关结论

    (1)$n^{2} < 2^{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}, n \geqslant 5\right)$.

    (2)$|\sin n \theta| \leqslant n|\sin \theta|\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$. 

    (3)贝努利不等式:

    如果$x$是实数,且$x>-1, x \neq 0, n$为大于1的自然数,那么有$(1+x)^{n}>1+n x$.

    贝努利不等式更一般的形式:当$\alpha$是实数,并且满足$ \alpha>1 $或者$ \alpha  <  0$时,有$(1+x)^{\alpha} \geqslant 1+\alpha x(x > -1)$

    当$\alpha$是实数,并且满足$0 < \alpha < 1$时,有$(1+x)^{\alpha} \leqslant 1+\alpha x(x > -1)$

    (4)如果n(n为正整数)个正数$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$的乘积$a_{1} a_{2} \cdots a_{n}=1$,那么它们的和$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} \geqslant n$.

  • 2.用数学归纳法证明不等式

    使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由当$n=k$时命题成立推出当$n=k+1$时命题成立这一步.为完成这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用问题的其他条件及相关知识.

    【做一做】 用数学归纳法证明式子“$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1} \\ < n\left(n \in \mathbf{N}_{+}, n > 1\right)$”时,由当$n=k(k > 1)$时不等式成立,推证当$n=k+1$时不等式成立,左边应增加的项数是(  )

    $A .2^{k-1}$ $\mathrm{B} \cdot 2^{k}-1$ $\mathrm{C.} 2^{k}$ $\mathrm{D} \cdot 2^{k}+1$

    解析:当$n=k$时,不等式$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{k}-1} < k$成立;

    当$n=k+1$时,不等式的左边$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2^{k}-1} \\ +\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}-1}$,比较$n=k$时的不等式左边,可知左边增加了$2^{k+1}-1-\left(2^{k}-1\right)=2^{k+1}-2^{k}=2^{k}$(项).

    答案:C

重难点
  • 1.观察、归纳、猜想、证明的方法

    剖析:这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题,命题的成立不成立都预先需要归纳与探索,而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手,得到一个结论,但这个结论不一定正确,因为这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出一定的逻辑证明,所以,通过观察、分析、归纳、猜想,探索一般规律,其关键在于正确的归纳猜想,如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了.

    在观察与归纳时,$n$的取值不能太少,否则将得出错误的结论.前几项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性,因而,要从多个特殊事例上探索一般结论.

  • 2.从“$n=k$”到“$n=k+1$”的方法与技巧

    剖析:在用数学归纳法证明不等式问题中,从“$n=k$”到“$n=k+1$”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的来,而证明不等式的第二步中,从“$n=k$”到“$n=k+1$”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“$n=k$”到“$n=k+1$”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的.

例题解析
  • 题型一 利用数学归纳法证明有关函数中的不等关系

    【例1】 已知$f(x)=\frac{x^{n}-x^{-n}}{x^{n}+x^{-n}}$,对于$n \in \mathbf{N}_{+}$,试比较$f(\sqrt{2})$与$\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}$的大小并说明理由.

    分析:先通过$n$取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.

    反思 

    利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.

    【变式训练1】 已知函数$f(x)=x^{3}, g(x)=x+\sqrt{x}$.

    (1)求函数$h(x)=f(x)-g(x)$的零点个数,并说明理由;

    (2)设数列$\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$满足$a_{1}=a(a>0)_{2} f\left(a_{n+1}\right)=g\left(a_{n}\right)$,证明:存在常数$M$,使得对于任意的$n \in \mathbf{N}_{+}$,都有$a_{n} \leqslant M$.

  • 题型二 数学归纳法在解决有关数列问题中的应用

    【例2】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足:$a_{1}=\frac{3}{2}$,且$a n=\frac{3 n a_{n-1}}{2 a_{n-1}+n-1}\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.

    (1)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式;

    (2)求证:对一切正整数$n$,不等式$a_{1} a_{2} \cdots a_{n} < 2 n$!恒成立.

    分析:(1)由题设条件知,可用构造新数列的方法求得$a_{n}$;(2)可以等价变形,视为证明新的不等式.

    反思

    本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路,即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明,我们通过分析法、综合法等方法分析,可以找到一些证明的关键,“要证明……”,“只需证明……”,转化为证明其他某一个条件,进而说明要证明的不等式是成立的.

    【变式训练2】 已知等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的公差$d$大于0,且$a_{2}, a_{5}$是方程$x^{2}-12 x+27=0$的两根,数列$\left\{b_{n}\right\}$的前n项和为$T_{n}$,且$T_{n}=1-\frac{1}{2} b n$.

    (1)求数列$\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$的通项公式;

    (2)设数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和为$S_{n}$,试比较 $\frac{1}{b_{n}}$与$S n+1$的大小,并说明理由.

    分析:$\frac{1}{b_{n}}$与$S_{n+1}$的大小可能随$n$的变化而变化,因此对$n$的取值验证要多取几个

  • 题型三 利用数学归纳法证明不等式

    【例3】 设$P_{n}=(1+x)^{n}, Q_{n}=1+n x+\frac{n(n-1)}{2} x 2, \\ n \in \mathbf{N}_{+, x} \in(-1,+\infty)$
    ,试比较$P_{n}$与$Q_{n}$的大小,并加以证明.

    分析:这类问题,一般都是先取$P_{n}, Q_{n}$的前几项进行观察,以寻求规律,作出猜想,再证明猜想的正确性.

    反思

    本题中,$n$的取值会影响$P_{n}$与$Q_{n}$的大小变化,变量x也影响$P_{n}$与$Q_{n}$的大小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“$n$”,而忽视其他变量(参数)的作用.

    【变式训练3】 求证$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{3 n}>\frac{5}{6}\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.

  • 题型四 易错辨析

    易错点 项数变化不清晰致错

    【例4】 已知$f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.用数学归纳法证明:$f\left(2^{n}\right)>\frac{n}{2}$ 时,$f(2 k+1)-f(2 k)=$_________. 

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关推荐

不等关系与不等式

1.了解不等式(组)的实际背景. 2.理解不等式的概念,了解实数运算的符号法则与两实数大小顺序之间的关系. 3.能用作差法比较大小.