函数的零点、二分法

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解函数零点的概念,并会求简单函数的零点.
2.掌握一元二次方程根的存在性定理及会判断一元二次方程根的个数的方法.
3.了解二分法的定义及其原理.
4.了解函数的零点与方程根的联系,能根据具体函数的图象,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.
知识点
  • 1.函数的零点

    (1)概念.

    一般地,如果函数$y=f(x)$在实数$\alpha$处的值等于零,即$f(\alpha)=0$,则$\alpha$叫做这个函数的零点.

    (2)意义.

    方程$f(x)=0$有实数根?函数$y=f(x)$的图象与$x$轴有交点?函数$y=f(x)$有零点.

    名师点拨

    1.并不是每一个函数都有零点.例如,函数$y=\frac{1}{x}$与$y=x^{2}+6$都没有零点.当函数有零点时,可能不止一个.例如,函数$y=x^{2}-9$有两个零点.

    2.函数零点的求法主要有两种:

    (1)代数法:求$f(x)$的零点,就是求方程$f(x)=0$的根;

    (2)几何法:求$f(x)$的零点,就是求$f(x)$图象与$x$轴交点的横坐标.

    【做一做1-1】 函数$f(x)=2 x+6$的零点是(  )

    A.(0,6)     B.(-3,0)

    C.3     D.-3

    解析:令$f(x)=2 x+6=0$,解得$x=-3$,

    故所求零点是-3.

    答案:D

    【做一做1-2】 下列函数中存在零点的是(  )

    A.$f(x)=\frac{2}{x}$         B.$f(x)=|x|+1$

    C.$f(x)=-x^{2}$     D.$f(x)=4$

    解析:在C选项中,令f(x)=-x2=0,解得x=0,

    故$f(x)=-x^{2}$存在零点,其余选项中$f(x)=0$均无解,不存在零点.

    答案:C

  • 2.二次函数的零点

    (1)二次函数$y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$的零点的个数.

    ①当$\Delta>0$时,方程$a x^{2}+b x+c=0$有两个不相等的实数根,二次函数的图象与$x$轴有两个交点,二次函数有两个零点;

    ②当$A=0$时,方程$a x^{2}+b x+c=0$有两个相等的实数根(重根),二次函数的图象与$x$轴有一个交点,二次函数有一个二重的零点或说有二阶零点;

    ③当$\Delta < 0$时,方程$a x^{2}+b x+c=0$没有实数根,二次函数的图象与$x$轴无交点,二次函数没有零点.

    (2)二次函数零点的性质.

    ①当函数的图象通过零点且穿过$x$轴时,函数值变号;

    ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

    【做一做2-1】 若函数$f(x)=x^{2}+a x+b$有两个零点2和3,则$a-b$的值等于     . 

    解析:依题意知2和3是方程$x^{2}+a x+b=0$的两个根,

    故$\left\{\begin{array}{l}{2+3=-a} \\ {2 \times 3=b}\end{array}\right.$解得$a=-5, b=6$

    所以$a-b=-11$.

    答案:-11

    【做一做2-2】 已知函数$f(x)=a x^{2}+4 x+a$有二阶零点,则$a$的值为_______. 

    解析:由题意可知$f(x)$是二次函数,且$\Delta=0$,即$4^{2}-4 a^{2}=0$,得$a=\pm 2$.

    答案:$a=\pm 2$

  • 3.零点存在性的判断方法

    如果函数$y=f(x)$在一个区间$[a, b]$上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即$f(a) f(b) < 0$,那么这个函数在这个区间上至少有一个零点,即存在一点$x_{0} \in(a, b)$,使$f\left(x_{0}\right)=0$.

    (1)若函数$f(x)$的图象通过零点时穿过$x$轴,则称这样的零点为变号零点;

    (2)若函数$f(x)$的图象通过零点时没有穿过$x$轴,则称这样的零点为不变号零点.

    知识拓展对于任意函数$y=f(x)$,只要它的图象是不间断的,则有

    (1)当函数的图象通过零点且穿过$x$轴时,函数值就变号;

    (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.对于$y=f(x)$的图象是不间断的,有时说成$y=f(x)$是连续的,都指的是图象在指定区间上是一整条曲线而不是间断的若干段.

    【做一做3】函数$f(x)=x^{3}+2 x+1$的零点一定位于下列哪个区间内(  )

    A.$[-2,-1]$      B.$[-1,0]$

    C.$[0,1]$      D.$[1,2]$

    解析:因为$ f(-2)=-11 < 0, f(-1)=-2 < 0 $
    $ f(0)=1 > 0, f(1)=4 > 0, f(2)=13 > 0 $所以$ f(-1) f(0) < 0 $,所以$f(x)$的零点在区间$[-1,0]$内.

    答案:B

  • 4.求函数零点近似解的一种计算方法??二分法

    (1)二分法的定义.

    对于在区间$[a, b]$上连续不间断且$f(a) f(b) < 0$的函数$y=f(x)$,通过不断地把函数$f(x)$的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

    (2)“二分法”求函数零点的一般步骤.

    已知函数$y=f(x)$定义在区间$D$上,求它在$D$上的一个零点$x_{0}$的近似值$x$,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤:

    第一步 在$D$内取一个闭区间$\left[a_{0}, b_{0}\right] \subseteq D$,使$f\left(a_{0}\right)$与$f\left(b_{0}\right)$异号,即$f\left(a_{0}\right) \cdot f\left(b_{0}\right) < 0$.零点位于区间$\left[a_{0}, b_{0}\right]$中.

    第二步 取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的坐标为

    $x 0=\frac{1}{2}\left(a_{0}+b_{0}\right)$.

    计算$f\left(x_{0}\right)$和$f\left(a_{0}\right)$,并判断:

    (1)如果$f\left(x_{0}\right)=0$,则$x_{0}$就是$f(x)$的零点,计算终止;

    (2)如果$f\left(a_{0}\right) \cdot f\left(x_{0}\right) < 0$,则零点位于区间$\left[a_{0}, x_{0}\right]$中,令$a_{1}=a_{0}, b_{1}=x_{0}$;

    (3)如果$f\left(a_{0}\right) \cdot f\left(x_{0}\right)>0$,则零点位于区间$\left[x_{0}, b_{0}\right]$中,令$a_{1}=x_{0}, b_{1}=b_{0}$.

    第三步 取区间$\left[a_{1}, b_{1}\right]$的中点,则此中点对应的坐标为

    $x 1=\frac{1}{2}\left(a_{1}+b_{1}\right)$.


    计算$f\left(x_{1}\right)$和$f\left(a_{1}\right)$,并判断:

    (1)如果$f\left(x_{1}\right)=0$,则$x_{1}$就是$f(x)$的零点,计算终止;

    (2)如果$f\left(a_{1}\right) \cdot f\left(x_{1}\right) < 0$,则零点位于区间$\left[a_{1}, x_{1}\right]$中,令$a_{2}=a_{1}, b_{2}=x_{1}$;

    (3)如果$f\left(a_{1}\right) \cdot f\left(x_{1}\right)>0$,则零点位于区间$\left[x_{1}, b_{1}\right]$中,令$a_{2}=x_{1}, b_{2}=b_{1}$.

    ……

    继续实施上述步骤,直到区间$\left[a_{n}, b_{n}\right]$,函数的零点总位于区间$\left[a_{n}, b_{n}\right]$中,当区间的长度$b_{n}-a_{n}$不大于给定的精度时,这个区间$\left[a_{n}, b_{n}\right]$中的任何一个数都可以作为函数$y=f(x)$的近似零点,计算终止.

    归纳总结

    1.用二分法求函数的零点的近似值的方法仅适用于函数的变号零点,对函数的不变号零点不适用.

    2.利用二分法求得的函数零点可能是近似值,也可能是准确值.用二分法求函数零点时,一次只能求出一个近似值.

    记忆口诀函数连续值两端,相乘为负有零点,

    区间之内有一数,方程成立很显然.

    要求方程近似解,先看零点的区间,

    每次区间分为二,分后两端近零点.

    【做一做4-1】 函数$f(x)=x^{3}-2 x^{2}+3 x-6$在区间$[-2,4]$上的零点必在的区间是(  )

    A.$[-2,1]$         B.$\left[\frac{5}{2}, 4\right]$

    C.$\left[1, \frac{7}{4}\right]$           D.$\left[\frac{7}{4}, \frac{5}{2}\right]$

    解析:因为$f(-2) < 0,>0, f\left(\frac{-2+4}{2}\right)=f(1) < 0$,

    $f\left(\frac{1+4}{2}\right)=f\left(\frac{5}{2}\right)>0, f\left(\frac{1+\frac{5}{2}}{2}\right)=f\left(\frac{7}{4}\right) < 0$,

    所以零点在区间$\left[\frac{7}{4}, \frac{5}{2}\right]$内.

    答案:D

重难点
  • 一、函数的零点是实数值而不是几何中的点

    剖析:我们把使$f(x)=0$成立的实数$x$叫做函数$y=f(x)$的零点,因此函数的零点不是点,是函数$y=f(x)$与$x$轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这个实数时,其函数值为零.函数$f(x)$的零点实际上就是方程$f(x)=0$的实根,方程$f(x)=0$有几个实根,函数$f(x)$就有几个零点.例如,函数$f(x)=x+1$,当$f(x)=x+1=0$时仅有一个实根$x=-1$,所以函数$f(x)=x+1$有一个零点-1,由此可见函数$f(x)=x+1$的零点是一个实数-1,而不是一个点.

    名师点拨

    1.虽然有的函数在区间上不连续,但它可能有零点存在,如$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{|x|}{x}, x \neq 0} \\ {0, x=0}\end{array}\right.$有的函数在区间上是连续的,也可能不存在零点,如$y=1, x \in \mathbf{R}$.

    2.函数$F(x)=f(x)-g(x)$的零点就是函数$f(x)$与$g(x)$图象交点的横坐标.

  • 二、判断函数零点存在性应注意的问题

    1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,且满足f(a)?f(b) < 0,则f(x)的零点不一定只有一个,也可能有多个.例如,图①和②分别是函数f(x)和g(x)的图象,由图知,f(x)与g(x)的图象在[a,b]上连续不间断,且满足f(a)?f(b) < 0,图①中函数f(x)在(a,b)内有两个零点,图②中函数g(x)在(a,b)内有三个零点.由此可见,满足题设条件的函数的零点不一定只有一个.

    1558605155828123.png

    2.当函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,且在区间(a,b)内至少有一个零点时,不一定就必须有f(a)?f(b) < 0.例如,函数$f(x)=x^{2}-1$在区间(-2,2)内有两个零点,但却有$f(-2) cdot="">0$.

    3.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象不是连续曲线,则当f(a)?f(b) < 0时,f(x)在区间(a,b)内不一定有零点.例如,函数$f(x)=\frac{1}{x}$在闭区间[-2,2]上的图象不连续,虽有f(-2)?f(2) < 0,但f(x)在(-2,2)内没有零点.

  • 三、教材中的“?”

    想想看,你还能找到计算函数零点的另一种算法吗?

    剖析:试位法是求函数零点的又一方法.具体方法如下:

    第一步,在D内取一个闭区间$\left[a_{0}, b_{0}\right]$?D,使$f\left(a_{0}\right) f\left(b_{0}\right) < 0$,令$x_{0}=a_{0}, x_{1}=b_{0}$.

    第二步,连接两点$\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right),\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$,两点的直线方程为$y=f\left(x_{1}\right)+\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}\left(x-x_{1}\right)$.直线和x轴必有一个交点$\left(x_{2}, 0\right)$,易知$x_{2}=x 1-\frac{x_{1}-x_{0}}{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)} \cdot f\left(x_{1}\right)$,若$f\left(x_{2}\right)=0$,则$x_{2}$为它的实根.若$f\left(x_{2}\right) \neq 0$,则和二分法类似,根据$f(x)$在区间$\left[x_{0}, x_{2}\right],\left[x_{2}, x_{1}\right]$两端是否异号而求出区间.若$f\left(x_{0}\right) f\left(x_{2}\right) < 0$,则令$\left[x_{0}, x_{2}\right]=\left[a_{1}, b_{1}\right]$;若$f\left(x_{2}\right) f\left(x_{1}\right) < 0$,则令$\left[x_{2}, x_{1}\right]=\left[a_{1}, b_{1}\right]$.

    第三步,在区间$\left[a_{1}, b_{1}\right]$上重复第二步过程,求出$x_{3}$和区间$\left[a_{2}, b_{2}\right]$.

    如此继续下去,直到第n步,函数的零点总位于$\left[a_{n}, b_{n}\right]$上,当区间$\left[a_{n}, b_{n}\right]$的长度小于2$\varepsilon$(ε为精确度)时,计算终止.

    第四步,得到零点近似值 $\frac{a_{n}+b_{n}}{2}$.

例题解析
  • 题型一、求函数的零点

    【例1】 求下列各函数的零点:

    (1)$f(x)=-4 x+3$;

    (2)$f(x)=x^{2}-3 x-10$;

    (3)$f(x)=|x-2|-1$;

    (4)$f(x)=\frac{1}{x}-4 x$;

    (5)$f(x)=\frac{x^{2}-4 x}{\sqrt{x-3}}$ .

    反思

    本例中的(5)容易得到函数零点是0和4的错解,原因是忽视了函数的定义域.

    【变式训练1】

    (1)若$f(x)=\frac{1}{x}+m$的零点是-2,则m=_______; 

    (2)若函数$f(x)=x^{2}-x+m$没有零点,则实数m的取值范围是_______; 

    (3)函数$f(x)=(x-2) \cdot \sqrt{x-9}$的零点是_______. 

  • 题型二、判断函数的零点个数

    【例2】 对于函数$f(x)=x^{2}+m x+n$,若$f(a)>0, f(b)>0$,则函数$f(x)$在区间$(a,b)$内(  )

    A.一定有零点

    B.一定没有零点

    C.可能有两个零点

    D.至多有一个零点

    【变式训练2】 下列图象表示的函数中没有零点的是 (  )

    1558606275809490.png

    【例3】 求函数$f(x)=x 2-\frac{1}{x}$ 零点的个数.

    反思

    判断函数零点的个数常用以下方法:

    (1)解方程$f(x)=0$,方程根的个数就是函数$f(x)$的零点的个数;

    (2)画出函数$f(x)$的图象,该图象与x轴交点的个数就是函数$f(x)$零点的个数;

    (3)将方程$f(x)=0$变形为$g(x)=h(x)$,在同一坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图象,两个图象交点的个数就是原函数f(x)零点的个数.

    【变式训练3】 函数$f(x)=-x^{2}+4 x-\frac{1}{x}$的零点的个数为(  )

    A.0    B.1

    C.2    D.3

  • 题型三、函数零点性质的应用

    【例4】 当a取何值时,关于x的方程$a x^{2}-2 x+1=0$的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内?

    反思

    根的分布常借助于函数零点的有关性质进行讨论.在解本题时,易出现$\left\{\begin{array}{l}{f(0) \cdot f(1) < 0} \\ {f(1) \cdot f(2) < 0}\end{array}\right.$的错误情况,导致此种错误的原因是没有对$a$进行分类讨论.

    【变式训练4】 已知函数$f(x)=m x^{2}+(m-3) x+1$图象的零点至少有一个在原点右侧,求实数$m$的取值范围.

  • 题型四、利用二分法求方程的近似解

    【例5】 求方程$x^{5}-x^{3}-3 x^{2}+3=0$的无理根.(精确到0.1)

    反思

    利用二分法求方程近似解的步骤:(1)构造函数,转化为求函数的零点;(2)明确精确度ε和函数的零点所在的区间(通常区间的左右端点相差ε);(3)利用二分法求函数的零点;(4)归纳结论.

    【变式训练5】 求$\sqrt[3]{2}$的近似值.(精确到0.01)

  • 题型五、易错辨析

    易错点:混淆函数零点存在的条件致误

    【例6】 若函数$y=f(x)$在区间[-2,2]上的图象是连续的,且方程f(x)=0在[-2,2]上仅有一个实根0,则f(-2)?f(2)的值(  )

    A.大于0    B.小于0     C.等于0    D.无法判断

    【变式训练6】函数g(x)=-3(1-x)2在区间[0,2]上零点的个数为______. 

  • 真题

    1下列函数中存在零点的是(  )

    A.$f(x)=|x|+1$

    B.$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ 

    C.$f(x)=\frac{x}{x+2}$

    D.$f(x)=x^{2}-x+3$

    2若函数$f(x)=m x^{2}+3 x-9$有两个不同的零点,则$m$的取值范围是(  )

    A.$m \geqslant-\frac{1}{4}$

    B.$m<-\frac{1}{4}$,且$m \neq 0$

    C.$m>-\frac{1}{4}$,且$m \neq 0$

    D.$m \leqslant-\frac{1}{4}$

    3用二分法求方程$x^{3}+3 x-7=0$在(1,2)内近似解的过程中,设函数$f(x)=x^{3}+3 x-7$,算得$f(1) < 0, f(1.25) < 0,>0, f(1.75)>0$,则该方程的根落在区间 (  )

    A.(1,1.25)         B.(1.25,1.5)

    C.(1.5,1.75) D.(1.75,2)

    4函数$f(x)=x^{3}+3 x-1$在以下哪个区间内一定有零点 (  )

    A.(-1,0)       B.(0,1)

    C.(1,2)        D.(2,3)

    5已知函数$y=x^{2}+a x+3$有一个零点为2,则a的值为_______. 

    6下面是连续函数f(x)在[1,2]上一些点的函数值:

    x

    1

    1.25

    1.375

    1.4
    065

    1.438

    1.5

    1.625

    1.75

    1.8
    75

    2

    f(x)

    -2

    -0.984

    -0.260

    -0.0
    52

    0.165

    0.625

    1.982

    2.6
    45

    4.35

    6

    由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为______.(精确到0.1) 

    7求函数$y=x^{3}-4 x$的零点,并画出它的图象.

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关推荐

函数

1.会用集合与对应语言来刻画函数,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法,并能正确地使用区间表示数集. 3.了解映射的概念,能判定一些简单的对应是不是映射,并用映射概念加深对函数概念的理解.