点到直线的距离
2.会利用距离公式解决点关于线对称和线关于线对称的问题.
1.点到直线的距离公式
已知点$P\left(x_{1}, y_{1}\right)$,直线$l$的方程:$A x+B y+C=0$,则点P到l的距离
$d=\frac{\left|A x_{1}+B y_{1}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
归纳总结
1.点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离(这是从运动的观点来看).2.点到直线的距离公式只与直线一般式方程的系数有关,所以公式适用于所有的直线.使用点到直线的距离公式的前提条件是:把直线方程化为一般式方程.
【做一做1-1】 点$P(2,-3)$到直线$l : x-2 y-1=0$的距离为_________.
答案:$\frac{7 \sqrt{5}}{5}$
【做一做1-2】 若点$P(m, 3)$到直线$4 x-3 y+1=0$的距离为4,则$m=$_________.
解析:$P(m, 3)$到直线$4 x-3 y+1=0$的距离$d=\frac{|4 m-8|}{5}=4$,解得$m=7$或$m=-3$.
答案:7或-3
2.点到几种特殊直线的距离
(1)点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$到x轴的距离$d=\left|y_{0}\right|$;
(2)点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$到y轴的距离$d=\left|x_{0}\right|$|;
(3)点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$到与x轴平行的直线$y=a$的距离$d=\left|y_{0}-a\right|$;
(4)点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$到与y轴平行的直线$x=b$的距离$d=\left|x_{0}-b\right|$.
【做一做2】 点$P(2,-6)$到直线$y=-5$的距离为_________,到$x=9$的距离为_________.
答案:1 7
3.两平行直线间的距离公式
设直线$l_{1}, l_{2}$的方程分别为$A x+B y+C_{1}=0, A x+B y+C_{2}=0$,其中$C_{1} \neq C_{2}$,则$l_{1}$与$l_{2}$之间的距离$d=\frac{\left|C_{1}-C_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
【做一做3】 直线$x-y-2=0$与直线$x-y+1=0$的距离是( )
$A \cdot \frac{1}{2} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{3}{2}$ $C \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{2}$
答案:D
求两平行线间的距离的注意事项
剖析:1.求两平行线间的距离有两种方法:方法一是利用公式$d=\frac{\left|C_{1}-C_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$;方法二是先在一条直线上取一点$P$,求得的$P$到另一条直线的距离即是两平行线间的距离.
2.使用公式$d=\frac{\left|C_{1}-C_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$时要注意,两平行线的方程中x,y的一次项系数必须是对应相同的,即两直线的方程应为$l_{1} : A x+B y+C_{1}=0, \\ l_{2} : A x+B y+C_{2}=0$的形式.
点到直线的距离公式及其应用
【例1】 求下列各点到相应各直线的距离:
(1)点$A(-1,2)$,直线$l_{1} : 2 x+y-10=0$;
(2)点$B(2,3)$,直线$l_{2} \cdot 3 y=-4$;
(3)点$C(3,-2)$,直线$l_{3} \cdot x=\frac{2}{3}$;
(4)点$D(-1,2)$,直线$l_{4} \cdot y=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$;
(5)点$E(4,-2)$,直线$l_{5} : 3 x-4 y-20=0$.
反思
求点到直线的距离时,注意以下几点:
(1)若直线方程不是一般式,应先将其化为一般式;
(2)如果所给直线是与坐标轴平行或垂直的直线,这时可套用点到直线的距离公式求解,也可利用简化的公式求解;
(3)点在直线上时,也可套用公式求点到直线的距离,当然距离肯定等于0.
【变式训练1】 若点$(-2,2)$到直线$3 x+4 y+m=0$的距离为4,求$m$的值.
分析:直接根据点到直线的距离公式列方程求解.
两平行线之间的距离
【例2】 已知直线$l_{1}$与$l_{2} \cdot x+y-1=0$平行,且$l_{1}$与$l_{2}$的距离是$\sqrt{2}$,求$l_{1}$的方程.
分析:由$l_{1}$与$l_{2}$平行设出$l_{1}$的方程后根据平行线间的距离公式求解.
反思
求平行线之间的距离时,一定注意把两直线方程中$x,y$项的相应系数化为相同值,否则,会使结果出错.
【变式训练2】 (1)求直线$l_{1} : 24 x-10 y+5=0$与$l_{2} : 12 x-5 y-4=0$之间的距离;
(2)求与直线$3 x-4 y-20=0$平行且距离为3的直线的方程.
点到直线的距离公式的综合应用
【例3】
直线$4 x+3 y-12=0$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A, B$.
(1)求$\angle B A O$的平分线所在的直线的方程;
(2)求点$O$到$\angle B A O$的平分线的距离.
分析:(1)利用角平分线上的点到角两边的距离相等列方程;
(2)利用点到直线的距离公式直接求解.
反思
要注意结合图示对第(1)小题的结果进行检验,不然会出现增解现象.
【变式训练3】 两条直线$l_{1} : x+y-2=0$与$l_{2} : 7 x-y+4=0$相交成四个角,则这些角的平分线所在的直线的方程为________.
【例4】 已知正方形的中心为$G(-1,0)$,一边所在直线的方程为$x+3 y-5=0$,求其他三边所在直线的方程.
分析:可从另外三条边与已知边的位置关系以及中心$G$到另外三边的距离等于其到已知边的距离这两个方面入手求解另外三边所在直线的方程.
反思
在正方形中一定要注重对称性及平行、垂直的利用,另外,要注意总结设直线方程形式的技巧.
【变式训练4】 直线$2 x+3 y-6=0$关于点$P(1,-1)$对称的直线方程为( )
A. $3 x-2 y-6=0$ B. $2 x+3 y+7=0$
C. $3 x-2 y-12=0$ D. $2 x+3 y+8=0$
易错辨析
易错点:忽视斜率不存在的直线致错
【例5】 求经过点$P(-3,5)$,且与原点距离等于3的直线方程.
真题
1.点(1,-1)到直线$x-y+1=0$的距离是( )
$\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{B} \cdot \frac{3}{2} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
2.点$P(x, y)$在直线$x+y-4=0$上,$O$为坐标原点,则点$O$与点$P$之间的距离的最小值为( )
A. $\sqrt{10}$ B.2 $\sqrt{2}$ C. $\sqrt{6} \mathrm{D} .2$
3.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )
A.3条 B.2条 C.1条 D.0条
4.直线$2 x-y-1=0$与直线$6 x-3 y+10=0$的距离是_________.
5.已知$\triangle A B C$的三个顶点坐标为$A(\sqrt{3}, 2), B(0,1), C(0,3)$,则BC边上的高线$AD$的长度为_________.
6.过点$B(3,4)$作直线$l$,使之与点$A(1,1)$之间的距离等于2,求直线$l$的方程.