空间直角坐标系
1.空间直角坐标系的建立
为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系$x O y$的基础上,通过原点$O$,再作一条数轴$z$,使它与$x$轴,$y$轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直.
轴的方向通常这样选择:从$z$轴的正方向看,$x$轴的正半轴沿逆时针方向转$90^{\circ}$能与$y$轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系$O x y z_{0} O$叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面$y O z, x O z, x O y$叫做坐标平面,三个坐标平面把空间分成八个卦限,如图.
$x O y$平面:由$x$轴及$y$轴确定的坐标面;
$x O z$平面:由$x$轴及$z$轴确定的坐标面;
$y O z$平面:由$y$轴及$z$轴确定的坐标面.
2.点在空间直角坐标系中的坐标
取定了空间直角坐标系后,就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组$(x,y,z)$之间的一一对应关系.
点M为空间一已知点,在空间直角坐标系中,过这点作两条坐标轴所确定平面的平行平面,交另一条轴于一点,交点在这条轴上的坐标就是点$M$相应的一个坐标.设点$M$在$x$轴,$y$轴,$z$轴的坐标依次为$x,y,z.$于是空间的点M就唯一确定了一个有序数组$x,y,z.$这组数$x,y,z$就叫做点M的坐标,记为$(x,y,z)$,并依次称$x,y$和$z$为点$M$的$x$坐标、$y$坐标和$z$坐标.反之,设$(x,y,z)$为一个三元有序数组,过$x$轴上坐标为$x$的点,$y$轴上坐标为$y$的点,$z$轴上坐标为$z$的点,分别作平面$y O z, x O z, x O y$的平行平面,这三个平面的交点$M$便是三元有序数组$(x,y,z)$唯一确定的点.所以,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点$M$和有序数组$(x,y,z)$之间的一一对应关系.
八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:
归纳总结
坐标轴及坐标平面上点的坐标形式【做一做1】 若半径为$r$的球在第$V$卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是( )
$\mathrm{A} .(r, r, r) \quad \mathrm{B} .(r, r,-r)$
$\mathrm{C} .(-r,-r, r) \quad \mathrm{D} .(r,-r, r)$
答案:B
3.空间两点的距离公式
空间两点的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广,如图.
$M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), \\ P\left(x_{2}, y_{1}, z_{1}\right), \\ M_{2} \left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), \\ N\left(x_{2}, y_{2}, z_{1}\right)$
$\left|M_{1} P\right|=\left|x_{2}-x_{1}\right|, \\ |P N|=\left|y_{2}-y_{1}\right|, \\ \left|M_{2} N\right|=\left|z_{2}-z_{1}\right|$
$\left|M_{1} N\right|^{2}=\left|M_{1} P\right|^{2}+|P N|^{2} \\ =\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}$
$\left|M_{1} M_{2}\right|^{2}=\left|M_{1} N\right|^{2}+\left|N M_{2}\right|^{2} \\ =\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}$
所以点$M_{1}$与$M_{2}$间的距离为
$d\left(M_{1}, M_{2}\right)= \\ \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}$
应用两点间的距离公式时,注意是三组对应坐标之差的平方和再开方.
特别地,点$M(x, y, z)$到原点的距离公式为
$d(O, M)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.
【做一做2】 求下列两点间的距离:
$(1) A(1,1,0), B(1,1,1) ; \\ \quad(2) C(-3,1,5), D(0,-2,3)$
解:
$(1) d(A, B)= \\ \sqrt{(1-1)^{2}+(1-1)^{2}+(0-1)^{2}=1}$
$(2) d(C, D)= \\ \sqrt{(-3-0)^{2}+[1-(-2)]^{2}+(5-3)^{2}}$
$=\sqrt{22}$
求空间一点$A(x, y, z)$关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标.
剖析:对称点坐标问题,无非就是中点与垂直问题.空间点关于点的对称点,与平面内点关于点的对称点定义一样,已知点与其对称点连接所得线段的中点即为对称中心;空间点关于已知直线的对称点,与平面内点关于已知直线的对称点的定义一样,已知点与其对称点连接所得线段被对称轴垂直平分;连接空间点与其关于已知平面的对称点的线段垂直于平面,且中点在平面内.
$A(x, y, z)$关于坐标平面$x O y$的对称点$A_{1}(x, y,-z)$;
$A(x, y, z)$关于坐标平面$y O z$的对称点$A_{2}(-x, y, z)$;
$A(x, y, z)$关于坐标平面$x O z$的对称点$A_{3}(x,-y, z)$;
$A(x, y, z)$关于x轴的对称点$A_{4}(x,-y,-z)$;
$A(x, y, z)$关于y轴的对称点$A_{5}(-x, y,-z)$;
$A(x, y, z)$关于z轴的对称点$A_{6}(-x,-y, z)$;
$A(x, y, z)$关于原点的对称点$A_{7}(-x,-y,-z)$.
空间点的坐标
【例1】 已知一个长方体的长、宽、高分别为5,3,4,试建立适当的空间直角坐标系,将长方体的各个顶点表示出来.
分析:可以以长方体的一个顶点为原点,建立空间直角坐标系,也可以以长方体的中心作为原点.
反思
建立适当的坐标系的原则一般是让更多的点落在坐标轴上,进而使得点的坐标表示比较简单.
【变式训练1】 已知棱长为1的正方体$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$,如图,建立空间直角坐标系,试写出正方体各顶点的坐标.
空间点的对称问题
【例2】 在空间直角坐标系中,给定点$M(1,-2,3)$,求它分别关于三个坐标平面、三条坐标轴和原点的对称点的坐标.
分析:此题要类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.
反思
本题反映了求对称点时的一个规律:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反.
【变式训练2】 点(5,-6,-2)关于yOz平面对称点的坐标是_________,关于x轴对称点的坐标是_________,关于原点对称点的坐标是_________.
求空间中两点间的距离
【例3】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$|A B|=|B C|=2,\left|D_{1} D\right|=3$,点$M$是$B_{1} C_{1}$的中点,点$N$是$AB$的中点.如图,建立空间直角坐标系.
(1)写出点$D,N,M$的坐标;
(2)求线段$MD,MN$的长度.
分析:根据所给空间直角坐标系,先求出相关点的坐标,再用距离公式求解.
反思
在运用两点间的距离公式时,注意不要弄错坐标相减的顺序,要记准“同类相减,平方相加再开方”这一规律.
【变式训练3】 若点$M(2, a, 0)$与点$N(-1,0, a)$之间的距离等于5,则实数$a$的值为_________.
空间两点的距离公式的应用
【例4】 在三棱锥$A-B C D$中, $|A D|=|B C|=1, \\ |A C|=|A B|=|D C|=|D B|=2$
,求该三棱锥的体积.分析:三棱锥的六条棱长都已知,且比较特殊,我们不难求得$\triangle A C B$的面积,但点$D$在平面$ABC$内的射影位置不明显,三棱锥的高比较难求.于是,我们以点$A$为原点,建立空间直角坐标系,问题便转化为求点$D$的坐标,而这不难用空间两点的距离公式求解.
反思
本题采用建立空间直角坐标系,将问题转化为求点D的坐标问题的方法,避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算,思路也比较自然,求解也不复杂.这种通过建立空间坐标系来解决的立体几何问题,显得有规律可循,而且少了立体几何的空间想象.
【变式训练4】 在空间直角坐标系中,已知$\triangle A B C$的顶点分别是$A(-1,2,3), B(2,-2,3), C\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 3\right)$.求证:$\triangle A B C$是直角三角形.
真题
1.点$(2,0,3)$在空间直角坐标系中的位置是在( )
A.y轴上 B.$x O y$平面上
C.$x O z$平面上 D.第一卦限内
2.在空间直角坐标系中,下列各点中位于$y O z$平面内的是( )
A.(3,2,1) B.(2,0,0)
C.(5,0,2) D.(0,-1,-3)
3点P(1,2,1)关于$x O z$平面的对称点坐标是( )
A.(1,-2,1)
B.(-1,-2,1)
C.(1,2,-1)
D.(-1,-2,-1)
4.如图,正方体的棱长为1,$M$是所在棱的中点,$N$是所在棱的四分之一分点,则$M,N$之间的距离为( )
$\mathrm{A} \cdot \frac{\sqrt{21}}{4} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{29}}{4} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{21}}{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{29}}{2}$
5.已知点$P(2,3,4)$,则点$P$到$x$轴的距离是_________.
6.指出下列各点在空间中的哪一个卦限.
(1)(-1,3,2);(2)(3,3,-1);
(3)(-5,-2,-2);(4)(-5,1,-1).