高中数学网fun88网上娱乐的标准方程
2.掌握利用待定系数法求fun88网上娱乐的标准方程的方法,并能借助fun88网上娱乐的几何性质处理与fun88网上娱乐心及半径有关的问题.
3.会判断点与fun88网上娱乐的位置关系.
1.fun88网上娱乐的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是fun88网上娱乐,定点是fun88网上娱乐心,定长是fun88网上娱乐的半径.设$M(x, y)$是$\odot C$上的任意一点,点M在$\odot C$上的条件是$|C M|=r, r$为$\odot C$的半径.
名师点拨 fun88网上娱乐的常用几何性质如下:
(1)fun88网上娱乐心在过切点,且与切线垂直的直线上;
(2)fun88网上娱乐心必是两弦中垂线的交点;
(3)不过fun88网上娱乐心的弦,弦心距d,半弦长m及半径r满足$r^{2}=d^{2}+m^{2}$;
(4)直径所对的fun88网上娱乐周角是$90^{\circ}$,即fun88网上娱乐的直径的两端点与fun88网上娱乐周上异于端点的任意一点的连线互相垂直.
【做一做1】 已知fun88网上娱乐O的一条弦长为2,且此弦所对fun88网上娱乐周角为60°,则该fun88网上娱乐的半径为________.
答案：$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
2.fun88网上娱乐的方程
(1)fun88网上娱乐心在坐标原点,半径为$r$的fun88网上娱乐的标准方程为$x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
(2)fun88网上娱乐心坐标为$(a, b)$,半径为$r$的fun88网上娱乐的标准方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.
归纳总结
几种特殊形式的fun88网上娱乐的标准方程
【做一做2】 fun88网上娱乐心是$O(-3,4)$,半径为5的fun88网上娱乐的方程为 ( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. }(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=5} \\ {\text { B. }(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25} \\ {\text { C. }(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=5} \\ {\text { D. }(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=25}\end{array}$
答案：D
3.点与fun88网上娱乐的位置关系
设点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$和fun88网上娱乐$C :(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$,则
点P在fun88网上娱乐上$\Leftrightarrow\left(x_{0}-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2}=r^{2} \Leftrightarrow|P C|=r$;
点P在fun88网上娱乐外$\Leftrightarrow\left(x_{0}-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2}>r^{2} \Leftrightarrow|P C|>r$;
点P在fun88网上娱乐内$\Leftrightarrow\left(x_{0}-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2} < r^{2} \Leftrightarrow|P C| < r$.
【做一做3-1】 下面各点在fun88网上娱乐$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2$上的是( )
$\mathrm{A}(1,1) \quad \mathrm{B} \cdot(2,1) \quad \mathrm{C} \cdot(0,0) \quad \mathrm{D} \cdot(\sqrt{2}, \sqrt{2})$
答案：C
【做一做3-2】 点$P\left(m^{2}, 5\right)$与fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}=24$的位置关系是( )
A.在fun88网上娱乐外 B.在fun88网上娱乐内 C.在fun88网上娱乐上 D.不确定
解析：因为$\left(m^{2}\right)^{2}+5^{2}=m^{4}+25>24$,所以点$P$在fun88网上娱乐外.
答案：$A$
1.fun88网上娱乐的图形不是函数的图象
剖析：根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于$x$轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象,否则,不是函数的图象.对于平面直角坐标系中的fun88网上娱乐,垂直于$x$轴的直线与其至多有两个交点,因此fun88网上娱乐不是函数的图象.但是存在图象是fun88网上娱乐弧形状的函数.
例如:函数$y=b+\sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}(r>0)$的图象是以$(a, b)$为fun88网上娱乐心,半径为r的位于直线$y=b$上方的半fun88网上娱乐弧;函数$y=b-\sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}(r>0)$的图象是以$(a, b)$为fun88网上娱乐心,半径为$r$的位于直线$y=b$下方的半fun88网上娱乐弧.
2.求fun88网上娱乐关于一个点或一条直线对称的fun88网上娱乐的方程的问题
剖析：要求fun88网上娱乐$C :(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$关于点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$对称的fun88网上娱乐的方程,首先找fun88网上娱乐心$C(a, b)$关于点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$的对称点,得到对称fun88网上娱乐的fun88网上娱乐心,半径不变.如:求fun88网上娱乐$(x+1)^{2}+y^{2}=4$关于原点对称的fun88网上娱乐的方程.因为已知fun88网上娱乐的fun88网上娱乐心是$(-1,0)$,它关于原点的对称点是$(1,0)$,所以所求的fun88网上娱乐的方程为$(x-1)^{2}+y^{2}=4$.
同理求fun88网上娱乐关于直线$m x+n y+p=0$对称的fun88网上娱乐的方程,只需求fun88网上娱乐心关于直线的对称点.
如:已知fun88网上娱乐$C$与fun88网上娱乐$(x-1)^{2}+y^{2}=1$关于直线$y=-x$对称,求fun88网上娱乐$C$的方程,我们可以设fun88网上娱乐心$(1,0)$关于$y=-x$对称的点为$(a, b)$,则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a-1} \cdot(-1)=-1} \\ {-\frac{a+1}{2}=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$
得$\left\{\begin{array}{l}{a=0} \\ {b=-1}\end{array}\right.$所以所求fun88网上娱乐的方程为$x^{2}+(y+1)^{2}=1$.
求fun88网上娱乐的标准方程
【例1】 根据下列条件分别求fun88网上娱乐的标准方程:
(1)fun88网上娱乐心为$(3,4)$,半径等于$\sqrt{2}$;
(2)以$M(-4,-5), N(6,-1)$为直径两端点;
(3)fun88网上娱乐心为$(1,-3)$,经过点$(-3,-1)$;
(4)fun88网上娱乐心为$(2,-5)$,且与直线$4 x-3 y-3=0$相切;
(5)fun88网上娱乐心在直线$x=2$上,且与y轴交于点$A(0,-4), B(0,-2)$.
(6)求经过点$A(4,1)$,且与直线$x-y-1=0$相切于点$B(2,1)$的fun88网上娱乐的方程.
分析：$(1)(2)(3)(4)(5)$根据各个条件,分别确定fun88网上娱乐心坐标和半径大小,写出标准方程.(6)设fun88网上娱乐的方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$,根据题目条件列出关于$a, b, r$的方程组.解方程组求得$a, b, r$的值,即得fun88网上娱乐的方程.
反思
1.在求fun88网上娱乐的标准方程时,要注意中点坐标公式、点到直线的距离公式、两点的距离公式的正确运用.
2.列方程组时要充分借助fun88网上娱乐的几何性质,发现图中几何元素的关系,转化为$a, b, r$的方程;
3.解方程组时,要充分利用加减消元法,不要盲目运用代入消元法.要将两者结合起来.
【变式训练1】 求下列fun88网上娱乐的方程.
(1)fun88网上娱乐心在直线$y=-2 x$上,且与直线$y=1-x$相切于点$(2,-1)$;
(2)fun88网上娱乐心$C(3,0)$,且截直线$y=x+1$所得弦长为4.
(3)求经过点$P_{1}(4,9)$和$P_{2}(6,3)$,且以$P_{1} P_{2}$为直径的fun88网上娱乐的标准方程.
判断点与fun88网上娱乐的位置关系
【例2】 (1)fun88网上娱乐的直径端点为$(2,0),(2,-2)$,求此fun88网上娱乐的方程,并判断$A(5,4), B(1,0)$是在fun88网上娱乐上、fun88网上娱乐外,还是在fun88网上娱乐内;
(2)若点$P(-2,4)$在fun88网上娱乐$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=m$的外部,求实数$m$的取值范围.
分析：(1)求出fun88网上娱乐心坐标和半径可得fun88网上娱乐的标准方程.判断点在fun88网上娱乐上、fun88网上娱乐外、fun88网上娱乐内的方法是:根据已知点到fun88网上娱乐心的距离与半径的大小关系来判断.
(2)利用点在fun88网上娱乐的外部建立不等式求$m$的取值范围.
反思
一般地,以$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$为直径两端点的fun88网上娱乐的方程是$\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)+\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)=0$.例如本例(1)中,由于直径端点分别为(2,0)和(2,-2),因此fun88网上娱乐的方程为$(x-2)(x-2)+y(y+2)=0$,整理即得$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=1$.
【变式训练2】 下列各点中在fun88网上娱乐$(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=5$的外部的是( )
A.(-2,0) B.(-3,3) C.(-1,4) D.(-1,2)
求fun88网上娱乐关于点(线)对称的fun88网上娱乐
【例3】 试求fun88网上娱乐$C :\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{5}{4}$关于直线$l : x-y+1=0$对称的曲线$C^{\prime}$的方程.
分析：对称fun88网上娱乐的fun88网上娱乐心坐标变化、半径不变,另外也可利用相关点法来求.
反思
本例中方法一更简单一些.但需掌握点关于直线的对称点坐标的求法.
【变式训练3】 若fun88网上娱乐C与fun88网上娱乐$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=1$关于原点对称,则fun88网上娱乐C的方程是( )
A. $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\ \mathrm {B} \cdot(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$
C. $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1 \\ \mathrm {D} \cdot(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=1$
fun88网上娱乐的标准方程的实际应用
【例4】
如图,一座fun88网上娱乐拱桥,当水面在$l$位置时,拱顶离水面2 $\mathrm{m}$,水面宽12 $\mathrm{m}$,当水面下降1 $\mathrm{m}$后,水面宽多少米?
分析：建立平面直角坐标系,求出fun88网上娱乐拱桥所在fun88网上娱乐的标准方程,再利用方程解决相关问题.
反思
建立的平面直角坐标系不同,fun88网上娱乐的方程也不同.建立平面直角坐标系时,要尽量使方程简单,并有利于目标实现.本题若选择其他方法建立平面直角坐标系也不影响结论.
【变式训练4】 已知某隧道的截面是半径为4 $\mathrm{m}$的半fun88网上娱乐,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 $\mathrm{m}$,高为3 $\mathrm{m}$的货车能不能驶入这个隧道?
易错辨析
易错点一:对几何关系把握不准确致错
【例5】 已知fun88网上娱乐$C$的半径为2,且与$y$轴和直线$4 x-3 y=0$都相切,试求fun88网上娱乐$C$的标准方程.
易错点二:对fun88网上娱乐的标准方程理解不深致错
【例6】 已知fun88网上娱乐的方程是$(3 x-3)^{2}+(3 y+4)^{2}=9$,则该fun88网上娱乐的fun88网上娱乐心坐标为_________,半径等于_________.
真题
1fun88网上娱乐$C :(x-a)^{2}+(y+1)^{2}=3$的fun88网上娱乐心坐标是( )
A.(a,1) B.(a,-1) C.(-a,1) D.(-a,-1)
2以点$A(-5,4)$为fun88网上娱乐心,且与x轴相切的fun88网上娱乐的标准方程为( )
A. $(x+5)^{2}+(y-4)^{2}=16$
B. $(x-5)^{2}+(y+4)^{2}=16$
C. $(x+5)^{2}+(y-4)^{2}=25$
D. $(x-5)^{2}+(y+4)^{2}=25$
3fun88网上娱乐$(x+2)^{2}+y^{2}=5$关于原点$(0,0)$对称的fun88网上娱乐的方程为( )
A. $(x-2)^{2}+y^{2}=5 \quad \\ \mathrm{B} \cdot x^{2}+(y-2)^{2}=5$
$\mathrm{C} \cdot(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=5 \quad \\ \mathrm{D} \cdot x^{2}+(y+2)^{2}=5$
4fun88网上娱乐心在直线$y=x$上且与$x$轴相切于点$A(1,0)$的fun88网上娱乐的方程为_________.
5已知点$P$是曲线$x^{2}+y^{2}=16$上的一动点,点$A$是$x$轴上的定点,坐标为$(12,0)$.当点$P$在曲线上运动时,求线段$PA$的中点$M$的轨迹方程.
