随机数的含义与应用

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解几何概型的意义.
2.掌握几何概型问题的计算方法和求解步骤,准确地把实际问题转化为几何概型问题.
3.了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括用计算机产生随机数来进行模拟)估计事件的概率.
知识点
  • 1.几何概型的定义

    事件$A$理解为区域$\Omega$的某一子区域$A,A$的概率只与子区域$A$的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型.

    名师点拨

    几何概型的两个特点:一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数是无限的;二是等可能性, 即每一个基本事件发生的可能性是均等的.

    【做一做1】 下列概率模型中,是几何概型的有(  )

    ①从区间$[-10,10]$内任取一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;

    ②从区间$[-10,10]$内任取一个整数,求取到大于-1而小于2的数的概率;

    ③向一个边长为4 $cm$的正方形内投一点$P$,求点$P$离正方形中心不超过1 $cm$的概率.

    A.1个               B.2个               

    C.3个               D.0个

  • 2.几何概型概率公式

    在几何概型中,事件A的概率定义为$P(A)=\frac{\mu_{A}}{\mu_{\Omega}}$ ,其中$\mu_{Q}$表示区域$\Omega$的几何度量,$\mu_{A}$表示子区域A的几何度量.

    归纳总结
    运用几何概型的概率公式$P(A)=\frac{\mu_{A}}{\mu_{\Omega}}$需注意:

    (1)$\mu_{Q}$不为0.

    (2)其中“$\mu_{Q}$”的意义依$\Omega$确定,当$\Omega$分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“$\mu_{Q}$”分别是长度、面积和体积.

    (3)区域$\Omega$内随机取点是指:该点落在区域内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比,而与其形状、位置无关.

    【做一做2】 如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭fun88网上娱乐外的黄豆数为96颗,以此试验数据可以估计出椭fun88网上娱乐的面积为_________. 

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  • 3.随机数

    随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样.它有很广阔的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复的试验.

    名师点拨

    学习用随机模拟方法近似求事件的概率,条件不具备的可以用计算器等其他简便易行的方法,进行简单的模拟试验,统计试验结果,并用频率估计概率,从中领会概率的意义和统计思想.

    【做一做3】 将$[0,1]$内的均匀随机数转化为$[-2,6]$内的均匀随机数,需实施的变换为(  )

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    答案:C

重难点
  • 古典概型与几何概型的异同

    剖析:古典概型与几何概型都是概率类型的一种,它们的区别在于:古典概型的基本事件数为有限个,而几何概型的基本事件数为无限个;共同点在于:两个概型都必须具备等可能性,即每个结果发生的可能性都相等.

    判断一次试验是不是古典概型,有两个标准来衡量:一是试验结果的有限性,二是试验结果的等可能性,如果这两个标准都符合,则这次试验是古典概型,否则不是古典概型;判断一次试验是不是几何概型有三个标准:一是试验结果的无限性,二是试验结果的等可能性,三是可以转化为求某个几何图形测度的问题.如果一次试验符合这三个标准,则这次试验是几何概型.这两种概率模型的本质区别是试验结果的种数是否有限.

例题解析
  • 与“长度”有关的几何概型

    【例1】 某公共汽车站每隔15 min有1辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求1位乘客到达车站后候车时间大于10 min的概率.

    反思

    在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域$D$,这时区域$D$可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件$A$发生对应的区域$d$.在找$d$的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件$A$的概率.

    【变式训练1】 在等腰直角三角形$A B C$的斜边$AB$上任取一点$M$,则$AM$小于$AC$的概率为_________. 

  • 与“面积”有关的几何概型

    【例2】 甲、乙两人约定上午7:00到8:00之间到某个汽车站乘车.在这段时间内有3班公共汽车,开车的时刻分别为7:20,7:40,8:00.如果他们约定,见车就乘,求甲、乙两人乘同一班车的概率.

    分析:由于甲、乙两人在7:00到8:00之间到达车站的时刻是任意的,是等可能的,并且有无限多种可能,因此是几何概型问题.

    反思

    本题的关键是要理解好题意,将其归结为面积型几何概型,而不是长度型几何概型.另外一定要认真审题,根据题意画出图形.本题中应以甲、乙两人到达车站的时刻作为横、纵坐标画出平面直角坐标系,在坐标系中将汽车的到站时刻,甲、乙两人的到站时刻分别表示出来,就可以直观地发现它们之间的关系,找出两人乘同一辆车的区域,然后计算面积,代入公式求得结果.

    【变式训练2】 如图所示,在矩形$ABCD$中,点$E$为边$CD$的中点.若在矩形$ABCD$内部随机取一个点$Q$,则点$Q$取自$\triangle A B E$内部的概率为(  )

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    $\begin{array}{llll}{\text { A. } \frac{1}{4}} & {\text { B. } \frac{1}{3}} & {\text { C. } \frac{1}{2}} & {\text { D. } \frac{2}{3}}\end{array}$

  • 与“体积”有关的几何概型

    【例3】 已知正三棱锥$S-ABC$的底面边长为$a$,高为$h$,在正三棱锥内取点$M$,试求点$M$到底面的距离小于 $\frac{h}{2}$的概率.

    分析:首先作出到底面距离等于$\frac{h}{2}$的截面,然后再求这个截面的面积,进而求出有关体积.

    【变式训练3】 有一杯2 L的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1 L水,求这个小杯的水中含有这个细菌的概率.

  • 利用随机模拟实验估计图形的面积

    【例4】 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分($y=2-2 x-x^{2}$与$x$轴围成的图形)的面积.

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    分析:解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积,而后由几何概率进行面积估计.

    反思

    在解答本题的过程中,易出现将点$(a, b)$满足的条件误写为$b>2-2 a-a^{2}$,导致该种错误的原因是没有验证阴影部分的点$(a, b)$应满足的条件.

    【变式训练4】 利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切fun88网上娱乐面积,并估计$\pi$的近似值.

  • 易错辨析

    易错点:混淆基本事件空间的度量类型致错

    【例5】

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    如图所示,在等腰直角三角形$ABC$中,过直角顶点$C$在$\angle A C B$内部作一条射线$CM$,与边$AB$交于点$M$.求$A M < A C$的概率.

  • 真题

    1一只小狗在如图所示的方砖上走来走去,最终停在阴影部分方砖上的概率是(  )

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    A. $\frac{1}{8}$    B.$\frac{7}{9}$  C. $\frac{2}{9}$  D.$\frac{7}{16}$

    2.某人睡午觉醒来后,发现表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待时间小于10 min的概率是(  )

    A. $\frac{1}{6} \mathrm{B} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{C} \cdot \frac{1}{60} \mathrm{D} \cdot \frac{1}{72}$

    3.把[0,1]内的均匀随机数转化为[-4,8]内的均匀随机数,需实施的变换为(  )

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    4.如图所示,在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形,向大正方形内随机投点,则所投的点落入小正方形内的概率是_________.

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    5.一条均匀的绳子长为20 m,在一次拔河比赛中(假设每点受力均匀)被拔断,断点离中点不到2 m的概率为_________. 

    6.在区间$[0,3]$内任取一个实数,用随机模拟法求该实数不小于2的概率.

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