高中数学网用样本的频率分布估计总体的分布
2.会列频率分布表,会画频率分布直方图和频率分布折线图,能根据频率分布直方图解决有关问题.
3.理解茎叶图的概念,会画茎叶图,并能根据茎叶图解决问题.
4.体会用样本估计总体的意义.
1.列出一组样本数据的频率分布表、画频率分布直方图,步骤如下:
(1)计算极差;(2)决定组数与组距;(3)决定分点;(4)列频率分布表;(5)绘制频率分布直方图.
【做一做1-1】 用样本的频率分布来估计总体的分布时,下列叙述正确的序号有 .
①估计准确与否与样本容量无关
②估计准确与否只与总体容量有关
③样本容量越大,估计结果越准确
④估计准确与否只与所分组数有关
解析:一般地,样本容量越大,用样本的频率分布去估计总体的分布就越准确.
答案:③
【做一做1-2】 一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该组的频数为 .
答案:5
2.极差是一组数据的最大值与最小值的差,它反映了一组数据变化的幅度,极差又叫全距.因此计算极差时,需要找出这组数据的最大值和最小值.
知识拓展组距是指每个小组的两个端点之间的距离,极差、组距、组数有如下关系:
注意:$[x]$表示不大于$x$的最大整数.
【做一做2】 抽查100袋洗衣粉,测得它们的质量如下(单位:$g$):
494 498 493 505 496 492 485 483 508 511 495 494 483 485 511 493 505 488 501 491 493 509 509 512 484 509 510 495 497 498 504 498 483 510 503 497 502 511 497 500 493 509 510 493 491 497 515 503 515 518 510 514 509 499 493 499 509 492 505 489 494 501 509 498 502 500 508 491 509 509 499 495 493 509 496 509 505 499 486 491 492 496 499 508 485 498 496 495 496 505 499 505 496 501 510 496 487 511 501 496
则样本数据的极差是 .
解析:518-483=35.
答案:35
3
在频率分布直方图中,纵轴表示
,数据落在各小组内的频率用各个小长方形的面积表示,各个小长方形的面积总和等于1.【做一做3】 下列说法不正确的是( )
A.频率分布直方图中各个小长方形的高就是该组的频率
B.频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1
C.频率分布直方图中各个小长方形的宽一样大
D.频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的各个小长方形上边的中点得到的
答案:A
4.频率分布折线图、总体密度曲线
(1)频率分布折线图的定义
把频率分布直方图各个小长方形上边的中点用线段连接起来,就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线
如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布,它可以用一条光滑曲线$y=f(x)$来描绘,这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.
【做一做4】 在频率分布直方图与总体密度曲线的关系中,下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图与总体密度曲线无关
B.频率分布直方图就是总体密度曲线
C.样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
D.如果样本容量无限增大,分组组距无限缩小,那么频率分布直方图就可以用一条光滑曲线??总体密度曲线来描绘
答案:D
5.茎叶图
用茎叶图表示数据有两个突出的优点,一是从统计图上没有原始信息的损失,所有的数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示.
名师点拨制作茎叶图的方法是:将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按一定顺序从上向下列出,共茎的叶一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出.
【做一做5】 如图所示的茎叶图中,茎为2的叶数是( )
$\begin{array}{l|l}{0} & {8} \\ {1} & {09} \\ {2} & {135} \\ {3} & {02468}\end{array}$
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:D
1.对频率分布直方图的理解
剖析:(1)频率分布直方图的纵坐标为
而不是
(2)因为小长方形的
,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.(3)在频率分布直方图中,各个小长方形的面积之和等于1.
(4)同样一组数据,如果组距不同,得到的频率分布直方图的形状也会不同.
(5)同一个总体,由于抽样的随机性,如果随机抽取另外一个容量相同的样本,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看做总体的分布.
(6)从频率分布直方图中可以清楚地看出数据分布的总体趋势.
(7)频率分布表和频率分布直方图由样本决定,因此它们会随样本的改变而改变.
2.频率分布表、频率分布直方图与频率分布折线图的关系
剖析:频率分布直方图中各个小长方形的面积等于相应各组的频率,以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面,频率分布表比较准确,频率分布直方图比较直观,它们起着相互补充的作用.频率分布折线图的优点是反映了数据的变化趋势.
样本的频数与频率
【例1】 一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:
组别
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在$[10,40)$上的频率为( )
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
反思
某一组的频率等于该组的频数除以样本容量,注意频数之和应为样本容量,频率之和为1.
【变式训练1】 已知一个容量是40的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10,第五组的频率是0.2,那么第六组的频数是_________,频率是_________.
频率分布直方图的制作
【例2】 某学校为了了解Fun88赞助男生的身高情况,从Fun88赞助年级的16个班中共抽取了50名男生,对其身高进行了测量,结果如下(单位:$cm$):
175,168,170,176,167,181,162,173,171,177,
171,171,174,173,174,175,177,166,163,160,
166,166,163,169,174,165,175,165,170,158,
174,172,166,172,167,167,173,161,172,175,
181,179,177,166,173,170,172,165,157,172.
试画出相应的频率分布直方图.
分析:按照画频率分布直方图的步骤,计算极差,确定组数,列出频率分布表,最后画出频率分布直方图.
反思
画频率分布直方图的关键有以下两点:
(1)正确地确定好分组的分点,通常采用以下两种办法:
①改变数据位数,若数据为整数,则分点数据减去0.5;若数据是小数点后有1位的数,则分点数据减去0.05,依此类推;
②不改变数据位数,但要注意分组后,每组的起点数据包含在该组内,终点数据不包含在该组内.
(2)频率分布直方图中的纵坐标是
,而不是频率.【变式训练2】 某校为了了解本年度Fun88赞助年级第一学期期末数学考试成绩的情况,从Fun88赞助的全体学生中随机抽取若干名同学,对其数学考试的成绩进行了统计,频率分布表如下:
成绩分组
频数
频率
$[85,95)$
①
②
$[95,105)$
0.050
$[105,115)$
0.200
$[115,125)$
12
0.300
$[125,135)$
0.275
$[135,145)$
4
③
$[145,155)$
0.050
合计
④
(1)根据上表,①②③④处的数值分别为_________、_________、_________、_________;
(2)画出相应的频率分布直方图.
频率分布直方图的识读与应用
【例3】 图①是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图,已知图中从左向右第一组的频数为4 000.在样本中记月收入(单位:元)在$[1 000,1 500),[1 500,2 000),[2 000,2 500), \\ [2 500,3 000),[3 000,3 500),[3 500,4 000]$
的人数依次为$A_{1}, A_{2}, \dots, A_{6}$.图②是统计月工资收入在一定范围内的人数的算法程序框图,则样本的容量$n=$_________,输出的$S=$_________.(用数字作答)
反思
本题是把统计图表和程序框图结合起来的一类综合问题,对于频率分布直方图的识读,最主要的是把握好
这一核心关系,再者每个长方形的面积等于相应组的频率,各组的频率和等于1,也就是各小长方形的面积的和等于1.【变式训练3】 某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示,则数据位于区间[4,5)上的频数为_________.
反思茎叶图在样本数据较少、较为集中且位数不多时比较适用.由于它较好地保留了原始数据,所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布,还可以用来分析样本数据的一些数字特征,用以判断数据的稳定程度.
【变式训练4】 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场得分情况如下:
甲:12,15,24,25,31,31,36,37,39,44,45,50;
乙:8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,9,17.
(1)用茎叶图表示上面的数据;
(2)根据你所画的茎叶图分析甲、乙两名运动员的得分情况.
易错辨析
易错点1:不理解频率分布直方图中纵轴的意义致错
【例5】 新生婴儿的体重的频率分布直方图如图所示,则新生婴儿的体重在[2 700,3 000) g内的频率为( )
A.0.001 B.0.1 C.0.2 D.0.3
易错点2:作茎叶图时忽视相同数据出现次数致错
【例6】作出下列数据的茎叶图:92,99,80,76,83,80,90,85.
真题
1.从某一总体中抽取一个个体数为200的样本,得到分组与频数如下:[10,15),6;[15,20),8;[20,25),13;[25,30),35;[30,35),46;[35,40),34;[40,45),28;[45,50),15;[50,55),10;[55,60),5,则样本在[30,60)上的频率是( )
A.0.69 B.0.46 C.1 D.不存在
2.在某电视台举办的中学生爱国知识竞赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图所示,则最低分和最高分分别为( )
A.79,93 B.84,87
C.48,78 D.39,97
3.通过对野象体重数据的研究得出其频率分布直方图,如图所示,则野象体重在[1 700,2 000) kg内的频率为( )
A.0.000 5 B.0.1
C.0.3 D.0.15
4.如图是高二某班50名学生一次100 m测试成绩的频率分布直方图,则成绩在[14,16)(单位:s)内的人数为_________.
5.对某班学生一次英语测试的成绩进行分析,得出各分数段的频率分布直方图如下.由此,估计这次测验的优秀率(不小于80分)为_________.
6.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位:分)如下:
甲组:76 90 84 86 81 87 86 82 85 83
乙组:82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
用茎叶图表示两个小组的成绩,并判断哪个小组的成绩更整齐一些?
