余弦函数的图象与性质

【做一做1】 画出函数$y=-\cos x, x \in[0,2 \pi]$的简图.

分析运用五点作图法,首先要找出起关键作用的五个点,然后描点连线.

解:按五个关键点列表:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得$y=-\cos x, x \in[0,2 \pi]$的简图,如图所示.

【做一做2-1】 已知函数$f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)(x \in \mathbf{R})$,下面结论错误的是(　　)

A.函数$f(x)$的最小正周期为2$\pi$

B.函数$f(x)$在区间$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$上是增函数

C.函数$f(x)$的图象关于直线x=0对称

D.函数$f(x)$是奇函数

解析:$\because f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x(x \in \mathbf{R}) f(-x) \\ =f(x),$$\therefore$函数$f(x)$是偶函数.

答案:D 

【做一做2-2】 函数$y=3 \cos x+1$的最大值是________,最小值是________. 

解析:$\because-1 \leq \cos x \leq 1$,

$. : y=3 \cos x+1$的最大值是4,最小值是-2.

答案:4　-2

【做一做2-3】$\cos \frac{3}{2}, \sin \frac{1}{10},-\cos \frac{7}{4}$的大小关系_________

解析:$\because \sin \frac{1}{10}=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{10}\right) \approx \cos 1.47, \\ -\cos ^{7}=\cos \left(\pi-\frac{7}{4}\right) \approx \cos 1.39, \cos ^{3}-\cos 1.5$
,而$y=\cos x$在$[0, \pi]$上是减函数,

故由$0 < 1.39 < 1.47 < 1.5<\pi$,可得$\cos 1.5<\cos 1.47<\cos 1.39, \\  . : \cos \frac{3}{2}<\sin \frac{1}{10}<-\cos \frac{7}{4}$

答案:$\cos \frac{3}{2}<\sin \frac{1}{10}<-\cos \frac{7}{4}$

【例1】 用“五点法”画出函数$y=2 \cos 2 x$的简图.

分析先找出此函数图象上的五个关键点,画出其在一个周期上的函数图象,再进行拓展得到在整个定义域内的简图.

【变式训练1】 作出函数$y=\frac{1}{2} \cos x+\frac{1}{2}|\cos x|$的图象.

【例2】 函数$y=\sin 2 x$的图象可由$y=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$的图象平移得到,则应(　　)

A.向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度

B.向右平移$\frac{7 \pi}{8}$个单位长度

C.向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度

D.向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度

【变式训练2】 为得到函数$y=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$的图象,只需将函数$y=\sin x$的图象(　　)

A.向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度

B.向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度

C.向左平移$\frac{5 \pi}{6}$个单位长度

D.向右平移$\frac{5 \pi}{6}$个单位长度

【例3】 求函数$y=\sqrt{36-x^{2}}+\lg \cos x$的定义域.

分析首先根据函数的解析式列出使函数有意义的条件不等式组,然后分别求解,最后求交集即可.

【变式训练3】 (1)函数$f(x)=\sqrt{\cos x}+\sqrt{4-x^{2}}$的定义域是_________. 

(2)函数$y=-2 \cos x+3$在$x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \pi\right]$上的值域为_________. 

【例4】 函数$y=|\cos x|$的单调递增区间为_________,单调递减区间为_________,最小正周期为_________. 

【变式训练4】 已知$f(x)=4 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+a$.

(1)求$f(x)$的单调递增区间;

(2)若$f(x)$在$\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$上的最小值为$\sqrt{3}$,求$a$的值.

【例5】 判断下列函数的奇偶性,并求它们的周期.

$(1) y=3 \cos 2 x, x \in \mathbf{R}$

$(2) y=\cos \left(\frac{3}{4} x+\frac{3 \pi}{2}\right)$

【变式训练5】 已知函数$f(x)=\frac{1}{3} \cos \left(\omega x+\frac{\pi}{6}+\varphi\right)(\omega>0)$.

(1)若$f(x)$的周期为$\frac{\pi}{2}$,求$\omega$的值;

(2)若$f(x)$为奇函数,求$\varphi$的值.

1.下列说法不正确的是(　　)

A.正弦函数、余弦函数的定义域是$\mathbf{R}$,值域是$[-1,1]$

B.对于余弦函数,当且仅当$x=2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$时取得最大值1,当且仅当$x=(2 k+1) \pi(k \in \mathbf{Z})$时取得最小值-1

C.正弦函数在区间$\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right](k \in \mathbf{Z})$上是减函数

D.余弦函数在区间$[2 k \pi-\pi, 2 k \pi](k \in \mathbf{Z})$上是减函数

2.下列函数中,周期为$\pi$,且在$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$上为减函数的是 (　　)

$\mathrm{A} \cdot y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right) \quad \mathrm{B} \cdot y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)$

$\mathrm{C} \cdot y=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \quad \mathrm{D} \cdot y=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$

3.函数$f(x)=2 \sin \left(x-\frac{3 \pi}{2}\right)$是(　　)

A.奇函数  B.偶函数

C.增函数  D.减函数

4.先将函数$y=\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的函数图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度,最后所得到的图象对应的解析式是 (　　)

$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} . y=\cos \frac{1}{2} x} & {\mathrm{B} \cdot y=\cos \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{2}\right)} \\ {\mathrm{C} \cdot y=\cos \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right)} & {\mathrm{D} \cdot y=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)}\end{array}$

5.若函数$y=3 \cos \left(a x+\frac{\pi}{6}\right)(a>0)$的最小正周期是$\pi$,则其对称轴方程为_________. 

6.若函数$y=a \cos x+b$的最小值为$-\frac{1}{2}$,最大值为$\frac{3}{2}$,则$a=$_________,$b=$_________. 

7.已知$f(x)=3 \cos \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega \in \mathbf{Z}, \omega>0)$的最小正周期为$T$,且满足$T \in(2,4)$.

(1)求$\omega$的所有取值;

(2)当$\omega$取最小值时,求$f(x)$的单调递减区间.