向量数量积的物理背景与定义

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.知道平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.
知识点
  • 1.两个向量的夹角

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    (1)定义:已知两个非零向量$a,b$(如图所示),作$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}$,则$\angle A O B$称作向量$a$与向量$b$的夹角,记作$<\mathbf{a},b>$.

    (2)范围:$[0, \pi]$,并且$ < \mathbf{a},b > =<\mathbf{b},a> $.

    (3)当$ < \mathbf{a},b > \frac{\pi}{2}$时,称向量$a$和向量$b$互相垂直,记作$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$.在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直.

    (4)当$ <\mathbf{a},b> =0$时,$a$与$b$同向;当$ < \mathbf{a},b > =\mathbb{\pi} $时,$a$与$b$反向.

    【做一做1】 在等腰直角三角形$A B C$中,$ \angle C=90^{\circ} $,则$ < \overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B} > =$______,$ < \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C} > =$_______.


    答案:$90^{\circ} \quad 135^{\circ}$

  • 2.向量在轴上的正射影

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    (1)已知向量$a$和轴$l$(如图所示),作$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}$,过点$O,A$分别作轴$l$的垂线,垂足分别为$O_{1}, A_{1}$,则向量$\overrightarrow{O_{1} A_{1}}$叫做向量$a$在轴$l$上的正射影(简称射影),该射影在轴$l$上的坐标,称作$\mathbf{a}$在轴l上的数量或在轴$l$的方向上的数量,记作$a_{l}$,向量$a$的方向与轴$l$的正向所成的角为$\theta$,则有$a_{l}=|\mathbf{a}| \cos \theta$. 

    (2)当$\theta$为锐角时,$a_{l}>0$;当$\theta$为钝角时,$a_{l} < 0$;当$\theta=0$时,$a_{l}=|\mathbf{a}|$;当$\theta=\pi$时,$a_{l}=-|\mathbf{a}|$.

    名师点拨

    向量$a$在轴$l$上的正射影是向量$a$在轴$l$上的分向量;向量$a$在轴$l$上的数量是其正射影在轴l上的坐标,与向量$a$与轴$l$所成的角有关,与具体位置无关.

    【做一做2】 已知$\mathbf{p}|=2,| \mathbf{q} |=3$,且$p$与$q$的夹角$\theta$为$120^{\circ}$,则向量$p$在$q$方向上的正射影的数量为________;向量$q$在$p$方向上的正射影的数量为________. 

    解析:向量$p$在$q$方向上的正射影的数量为$|\mathbf{p}| \cos \theta=2 \times \cos 120^{\circ}=-1$.同理,$q$在$p$方向上的正射影的数量为$|\mathbf{q}| \cos \theta=3 \times \cos 120^{\circ}=-\frac{3}{2}$.答案:$-1 \quad-\frac{3}{2}$

  • 3.向量的数量积(内积)

    (1)定义:$|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos <\mathbf{a},>$叫做向量$a$与$b$的数量积(或内积),记作$a?b$,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos <\mathbf{a},>$.

    (2)理解两个向量的内积是一个实数,可以等于正数、负数、零.

    【做一做3】 若$|\mathbf{a}|=3,|\mathbf{b}|=4, \mathbf{a}, \mathbf{b}$的夹角为$135^{\circ}$,则$a?b$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot-3 \sqrt{2}} & {\mathrm{B}-6 \sqrt{2}} \\ {\mathrm{C.} 6 \sqrt{2}} & {\mathrm{D.12}}\end{array}$

    解析:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos 135^{\circ}=3 \times 4 \times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ =-6 \sqrt{2}$

    答案:B

  • 4.向量数量积的性质

    设a,b为两个非零向量,e是单位向量.

    (1)$\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}=\mathbf{e} \cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}| \cos <\mathbf{a},>$;

    (2)$a \perp b \Rightarrow a \cdot b=0$,且$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0 \Rightarrow \mathbf{a} \perp \mathbf{b}$;

    (3)$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}|^{2} |$或$|\mathbf{a}|=\sqrt{a \cdot a}$;

    (4)$\cos <\mathbf{a},>=\frac{a \cdot b}{|a \| b|}(|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \neq 0)$

    (5)$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$.

    【做一做4-1】 若$\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} \leq 0$,则m与n的夹角$\theta$的取值范围是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot\left[0, \frac{\pi}{2}\right)} & {\mathrm{B} \cdot\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right)} \\ {\mathrm{C} \cdot\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]} & {\mathrm{D} \cdot\left[0, \frac{\pi}{2}\right]}\end{array}$

    答案:C

    【做一做4-2】 若向量$a,b$满足$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$,$a$与$b$的夹角为$60^{\circ}$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2}$ $\mathrm{B} \cdot \frac{3}{2}$ $\mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\mathrm{D} .2$

    解析:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|^{2}+|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos 60^{\circ} \\ =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

    答案:B

重难点
  • 向量的数量积与实数的乘法的区别

    剖析(1)若两个实数满足$ab=0$,则$a$与$b$中至少有一个为$0$.而若向量$a,b$满足$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$则可推导出以下四种可能:

    ①$a=0,b=0$;②$\mathbf{a}=\mathbf{0}, \mathbf{b} \neq \mathbf{0}$;③$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}, \mathbf{b}=\mathbf{0}$;④$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}, \mathbf{b} \neq \mathbf{0}$,但$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$.

    (2)若实数$a,b,c$满足ab=ac,且a$a \neq 0$,则有$b=c$.但对于向量,这种推理不正确,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$,且$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$推不出$b=c$.例如:$|\mathbf{a}|=1,|\mathbf{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2},|\mathbf{c}|=\frac{1}{2}, \mathbf{a}$,a与b的夹角为$\frac{\pi}{4}, \mathbf{a}$与c的夹角为$0$,显然$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}=\frac{1}{2}$,但$\mathbf{b} \neq \mathbf{c}$.(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,不可混淆.

    (4)向量线性运算的结果是一个向量,而数量积运算的结果是实数.

    知识拓展
    1.两个向量$a,b$的数量积$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$是一个数量,当$a,b$均为非零向量时,这个数量的符号与其夹角的大小有关.当$0^{\circ} \leq \theta < 90^{\circ}$时,$\mathbf{a} cdot="">0$;当$\theta=90^{\circ}$时,$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$;当$90^{\circ}<\theta \leq 180^{\circ}$时,$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$;当$a,b$中至少有一个为$0$时,$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$.

    2.数量积的几何意义:数量积$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于$a$的长度$|\mathbf{a}|$与$b$在$a$的方向上的投影$|\mathbf{b}| \cos \theta$的乘积.知道了数量积的几何意义,可以帮助大家正确认识向量的数量积.如:当a$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$时,由$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$不能推出$b$一定是零向量,这是因为任一与$a$垂直的非零向量$b$,都有$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$.

例题解析
  • 题型一 求平面向量的数量积

    【例1】 已知$|\mathbf{a}|=4,|\mathbf{b}|=5$,当(1)$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$;(2)$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$;(3)$a$与$b$的夹角为$60^{\circ}$时,分别求$a$与$b$的数量积.

    分析解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算.

    反思
    1.求平面向量数量积的步骤是:(1)求$a$与$b$的夹角$\theta, 0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$;(2)分别求$|\mathbf{a}|$和$|\mathbf{b}|$;(3)求数量积,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$.要特别注意,书写时$a$与$b$之间用实心fun88网上娱乐点“?”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.

    2.非零向量$a$和$b$,$\mathbf{b}, \mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$.

    3.非零向量$a$与$b$共线$\Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\pm|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$.

    【变式训练1】 (1)已知向量$\mathbf{a}$和向量$b$的夹角为$30^{\circ},|\mathbf{a}|=2,|\mathbf{b}|=\sqrt{3}$ ,则向量$\mathbf{a}$和向量$b$的数量积$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=$_________. 

    (2)若$|\mathbf{a}|=5,|\mathbf{b}|=2|\mathbf{a}|$,且$\mathbf{a}$与$b$反向共线,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=$_________. 

  • 题型二 求平面向量的夹

    【例2】 已知$a,b$是两个非零向量.

    (1)若$|\mathbf{a}|=3,|\mathbf{b}|=4,|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|=6$,求$a$与$b$的夹角;

    (2)若$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$,求$a$与$a+b$的夹角.

    分析(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.

    反思求向量的夹角可应用数量积的变形公式$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a||b|}$ ,一般要求两个整体$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b},|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$,不方便求出时,可寻求两者之间的关系,转化条件解方程组,利用向量的几何意义简捷直观地得出答案.

    【变式训练2】 (1)若$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是单位向量,且$\mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{e}_{2}=-\frac{1}{2}$  ,则$\mathbf{e}_{1}$与$\mathbf{e}_{2}$的夹角等于________. 

    (2)若$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2}|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$,则$b$与$a+b$的夹角为________. 

  • 题型三 易错辨析

    易错点1:不理解正射影的定义致错

    【例3】 已知$|\mathbf{a}|=3,|\mathbf{b}|=4$,且$<\mathbf{a},>=60^{\circ}$,试求$a$在$b$方向上正射影的数量.

    【变式训练3】 已知向量$a,b$满足$|\mathbf{b}|=2$,$a$与$b$的夹角为$60^{\circ}$,则$b$在$a$方向上的射影是________. 

    易错点2:求错向量的夹角致错

    【例4】 已知在$\triangle A B C$中,$B C=5, A C=8, \angle A C B=60^{\circ}$,求$\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C A}$.

    【变式训练4】 在等腰直角三角形$ABC$中,$AC$是斜边,且$A C=3 \sqrt{2}$,则$\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A C}=$________.

  • 真题

    1.若$|\mathbf{a}|=3,|\mathbf{b}|=2,<\mathbf{a},>=30^{\circ}$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=$(  )

    $\begin{array}{llll}{\text { A.3 }} & {\text { B. } 3 \sqrt{3}} & {\text { C.6 } D .-3 \sqrt{3}}\end{array}$

    2.在$\triangle A B C$中,若$\angle C=90^{\circ}, A C=B C=4$,则$\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}$ ?等于 (  )

    A.16 B.8 C.-16 D.-8

    3.在$\triangle A B C$中,$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} < 0$,则$\triangle A B C$是(  )

    A.锐角三角形  B.直角三角形

    C.钝角三角形  D.等边三角形

    4.已知a,b都是单位向量,则下列结论中正确的是(  )

    $A . \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=1$   $\mathrm{B}, \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}$

    $\mathrm{C} . \mathbf{a} / / \mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{a}=\mathbf{b}$ $\mathrm{D} . \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$

    5.已知$|\mathbf{a}|=10,|\mathbf{b}|=12$,且$\frac{3}{5} a \cdot b=-36$,则$\mathbf{a}$与$b$的夹角

    为________.      

    6.在边长为$a$的正六边形$ABCDEF$中,试求:

    blob.png

    $\begin{array}{ll}{(1) \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A E} ;} & {(2) \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}} \\ {(3) \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{E F}} & {\text { (4) } \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A C}}\end{array}$

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