高中数学网简单线性规划
2.经历在线性约束条件下,求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程,提高用线性规划解决实际问题的能力.
线性规划中的基本概念
名称
定义
目标
函数
要求最大值或最小值的函数,叫做目标函数
约束
条件
目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性目
标函数
如果目标函数是关于变量的一次函数,则称为线性目标函数
线性约
束条件
如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式),则称为线性约束条件
线性规
划问题
在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题,称为线性规划问题
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标,称为问题的最优解
可行解
满足线性约束条件的解,叫做可行解
可行域
由所有可行解组成的集合叫做可行域
名师点拨1.线性约束条件包括两点:一是关于变量$x, y$的不等式(或等式),二是次数为1.
2.目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量$x, y$的次数上做了严格的限定:一次解析式,即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.
3.可行解必须使线性约束条件成立,而可行域是所有的可行解构成的一个区域.
【做一做1】 目标函数$z=2 x-y$,将其看成直线方程时,$z$的意义是( )
A.该直线的截距 B.该直线的纵截距
C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截距
解析:$y=2 x-z$,故$z$的意义是该直线纵截距的相反数.故选$C$.
答案:$C$
【做一做2】 设变量$x, y$满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3 x+y-6 \geq 0} \\ {x-y-2 \leq 0} \\ {y-3 \leq 0}\end{array}\right.$则目标函数$z=y-2 x$的最小值为( )
A.-7 B.-4 C.1 D.2
解析:作约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3 x+y-6 \geq 0} \\ {x-y-2 \leq 0} \\ {y-3 \leq 0}\end{array}\right.$所表示的可行域,如图所示,$z=y-2 x$可化为$y=2 x+z, z$表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线$l_{0} \cdot y=2 x$,平移$l_{0}$,当直线过点$A(5,3)$时,$z$取最小值,且为-7,故选$A$.
答案:A
一、图解法求最值的实质
剖析:设目标函数为$z=A x+B y+C(A B \neq 0)$,由$z=A x+B y+C$,得$y=-_{B}^{A} x+_{B}^{z-C}$.这样,二元一次函数就可以视为斜率为$-_{B}^{A}$,在y轴上截距为$\frac{z-C}{B}$,
且随$z$变化的一族平行线.于是,把求$z$的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时,直线在$y$轴上的截距的最大值和最小值的问题.当$B>0$时,$z$的值随着直线在$y$轴上的截距的增大而增大;当$B < 0$时,$z$的值随着直线在$y$轴上的截距的增大而减小.
名师点拨
1.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处可使目标函数取得最大或最小值,最优解一般就是多边形的某个顶点.2.由于最优解是通过图形来观察的,故作图要准确,否则观察的结果可能有误.
二、常见的线性规划问题类型
剖析:(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用:
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;
二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
(2)线性规划问题的常见类型有:
①物资调运问题
例如已知$\mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}$两煤矿每年的产量,煤需经$\mathrm{B}_{1}, \mathrm{B}_{2}$两个车站运往外地,$\mathrm{B}_{1}, \mathrm{B}_{2}$两车站的运输能力是有限的,且已知$\mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}$两煤矿运往$B_{1}, B_{2}$两车站的运输价格,煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品所需$\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的,这个厂每月应如何安排产品的生产,才能使每月获得的总利润最大?
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管,怎样下料能使损耗最小?
线性目标函数的最值问题
【例1】 若变量x,y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y \leq 8} \\ {2 y-x \leq 4} \\ {x \geq 0} \\ {y \geq 0}\end{array}\right.$且$z=5 y-x$的最大值为$a$,最小值为$b$,则$a-b$的值是( )
A.48 B.30 C.24 D.16
反思
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”,即:(1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线$a x+b y=0$(目标函数为$z=a x+b y )$;
(2)移:平行移动直线$a x+b y=0$,确定使$z=a x+b y$取得最大值或最小值的点;
(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值;
(4)答:给出正确答案.
【变式训练1】 设变量$x, y$满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2 x+y-2 \geq 0} \\ {x-2 y+4 \geq 0} \\ {x-1 \leq 0}\end{array}\right.$则目标函数$z=3 x-2 y$的最小值为( )
A.-5 B.-4
C.-2 D.3
【例2】 若实数$x, y$满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+3 y-3 \geq 0} \\ {2 x-y-3 \leq 0} \\ {x-m y+1 \geq 0}\end{array}\right.$且$x+y$的最大值为9,则实数$m=(\quad)$
A.-2 B.-1 C.1 D.2
反思
已知目标函数的最值,求线性约束条件的参数问题,可以先画出线性约束条件中的已知部分,由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得,常常利用数形结合的方法求解.
【变式训练2】 已知$x,y$满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4 y \leq-3} \\ {3 x+5 y \leq 25} \\ {x \geq 1}\end{array}\right.$设$z=a x+y(a>0)$,若当$z$取最大值时对应的点有无数多个,求$a$的值.
非线性目标函数的最值问题
【例3】 已知$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2 \geq 0} \\ {x+y-4 \geq 0} \\ {2 x-y-5 \leq 0}\end{array}\right.$求:
$(1) z=x^{2}+y^{2}-10 y+25$的最小值;
$(2) z=\frac{2 y+1}{x+1}$的取值范围.
分析:(1)中$z=x^{2}+y^{2}-10 y+25=(x-0)^{2}+(y-5)^{2}$的几何意义为平面区域内的点$(x, y)$到$(0,5)$的距离的平方;(2) $z=\frac{2 y+1}{x+1}=2 \cdot \frac{y-\left(-\frac{1}{2}\right)}{x-(-1)}$的几何意义为平面区域内的点$(x, y)$与$\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$连线斜率的2倍.关键是将目标函数进行变形找到几何意义,再利用数形结合知识求解.
反思
1.对形如$z=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}$型的目标函数均可化为求可行域内的点$(x, y)$与点$(a, b)$间的距离的平方的最值问题.2.对形如$Z=\frac{a y+b}{c x+d}(a c \neq 0)$型的目标函数,可先变形为$Z=\frac{a}{c} \cdot \frac{y-\left(-\frac{b}{a}\right)}{x-\left(-\frac{d}{c}\right)}$的形式,将问题转化为求可行域内的点$(x, y)$与$\left(-\frac{d}{c},-\frac{b}{a}\right)$连线斜率的$\frac{a}{c}$倍的范围、最值等,注意斜率不存在的情况.
3.$z=|A x+B y+C|$可转化为点$(x, y)$到直线$A x+B y+C=0$的距离的$\sqrt{A^{2}+B^{2}}$倍.
【变式训练3】 设x,y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5 \geq 0} \\ {x+y \geq 0} \\ {x \leq 3}\end{array}\right.$求:
$(1) u=x^{2}+y^{2}$的最大值与最小值;
$(2) v=\frac{y}{x-5}$的最大值与最小值.
简单的线性规划问题
【例4】 某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元,米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元,学校要求给学生配制盒饭,每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少?
分析:根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,再用图解法解之.先作可行域,再作出初始直线$l_{0}$,通过向上或向下平移直线$l_{0}$至可行域的边界点,便得最优解,再进一步求最值.
反思
1.在线性规划应用问题中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要.2.线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.
3.结合实际问题,分析未知数$x, y$等是否有限制,如$x, y$为正整数、非负数等.
4.分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式.
5.图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上都是在图上完成的,所以作图应尽可能准确,图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差,假如图上的最优点不容易看出时,需将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检查,以确定最优解.
【变式训练4】 某工厂投资生产A产品时,每生产一百吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获得利润300万元;投资生产B产品时,每生产一百吨需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,问应做怎样的组合投资,可使获利最大?
分析:这是一个线性规划问题,可将题中数据整理成下表,设未知数列出约束条件和目标函数,最后作图求解.
资金
(百万元)
场地
(百平方米)
利润
(百万元)
$A$产品(百吨)
2
2
3
$B$产品(百吨)
3
1
2
限制
14
9
最优整数解的问题
【例5】 某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( )
A.31 200元 B.36 000元
C.36 800元 D.38 400元
反思
如果要求最优整数解,可先求出线性规划的最优解,若它是整数解,则问题解决;若不是,要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解,可通过精确作图,打网格的办法求得.
【变式训练5】 配制$A,B$两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药需甲料3毫克,乙料5毫克;配一剂B种药需甲料5毫克,乙料4毫克,今有甲料20毫克,乙料25毫克,若$A,B$两种药至少各配一剂,问共有多少种配制方法?若$A$种药价值10元,$B$种药价值20元,则配出的药价值最大为多少?
易错辨析
易错点:在解答线性规划实际问题时,因忽视整点的要求而致误
【例6】 某公司招收男职员$x$名,女职员$y$名,$x$和$y$需满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{5 x-11 y \geq-22} \\ {2 x+3 y \geq 9} \\ {2 x \leq 11}\end{array}\right.$则$z=10 x+10 y$的最大值是________.
真题
1.若变量$x,y$满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y \leq 2} \\ {x \geq 1} \\ {y \geq 0}\end{array}\right.$则$z=2 x+y$的最大值和最小值分别为( )
A.4和3 B.4和2
C.3和2 D.2和0
2.设$E$为平面上以三点$A(4,1), B(-1,-6), C(-3,2)$为顶点的三角形区域(包括边界),则$z=4 x-3 y,(x, v) \in E$的最大值与最小值分别为( )
A.14,-18 B.-14,-18
C.18,14 D.18,-14
3.已知变量$x,y$满足$\left\{\begin{array}{l}{y \leq x} \\ {x+y \geq 2} \\ {y \geq 2 x-4}\end{array}\right.$则$z=3 x+y$的最大值是_________.
4.已知变量$x,y$满足约束条件$1 \leqslant x+y \leqslant 4,-2 \leqslant x-y \leqslant 2$.若目标函数$z=a x+y$(其中$a>0$)仅在点$(3,1)$处取得最大值,则$a$的取值范围为_________.
5.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素$C$;1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素$C$.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
