高中数学网一元二次不等式及其解法
2.能利用一元二次不等式解决相关的实际问题,并会设计求解一元二次不等式的程序框图.
3.了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法.
1.一元二次不等式的概念
形如$a x^{2}+b x+c>0$或$a x^{2}+b x+c < 0$(其中$a \neq 0, a, b, c$均为常数)的不等式叫做一元二次不等式.用文字表述为:一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.
【做一做1】 已知不等式:①$x^{2}>0$;②$-x^{2}-2 x \leq 15$;③$x^{3}-5 x+6>0$;④$x^{2}-y < 0$.其中一元二次不等式的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:B
2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系
设$f(x)=a x^{2}+b x+c(a>0)$
$A=b^{2}-4 a c$
$y=f(x)$的图象
$f(x)=0$的根
有两个不相等的实根$x_{1}, x_{2}$
,且$x_{1} < x_{2}$有两个相等的实根$x_{1,} x_{2}$,且$x_{1}=x_{2}$
没有实数根
$f(x)>0$的解集
$\left\{x | x < x_{1}\right.$
或$x>x_{2} \}$$\mathbf{R}$
$f(x) < 0$的解集
$\left\{x | x_{1} \\ < x < x_{2}\right\}$
$\left\{x | x \neq \\ -\frac{b}{2 a}\right\}$
$\left\{x | x \neq-\frac{b}{2 a}\right\}$
归纳总结
对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况,常用口诀是:大于取两边,小于取中间.即:一个前提:“$a>0$”和四句话“根上等于零,根间小于零,根外大于零,无根大于零”.对于二次项系数是负数(即$a < 0$)的一元二次不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解.我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等式.
【做一做2-1】 不等式$x^{2}-2 x+1>0$的解集是( )
A.$\mathbf{R}$
B. $\{x | x \in \mathbf{R}$,且$x \neq 1 \}$
C. $\{x | x>1\}$
D. $\{x | x < 1\}$
答案:B
【做一做2-2】 不等式$-6 x^{2}-x+2 \leq 0$的解集是_________.
解析:原不等式等价于$6 x^{2}+x-2 \geq 0,6 x^{2}+x-2=0$的两根为$x_{1}=-\frac{2}{3}, x_{2}=\frac{1}{2}$,故$6 x^{2}+x-2 \geq 0$的解集为$\left\{x | x \leq-\frac{2}{3}\right.$或$x \geq \frac{1}{2} \}$.
答案:$\left\{x | x \leq-\frac{2}{3}\right.$或$x \geq \frac{1}{2} \}$
3.用程序框图描述求解一元二次不等式$a x^{2}+b x+c>0(a>0)$的算法过程
【做一做3】 函数$y=f(x)$的图象如图所示,则不等式$f(x)>0$的解集是_________.
答案:$\varnothing$
一、借助函数图象解不等式的原理分析
剖析:我们知道以自变量的取值为横坐标,对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点,这些点就构成了函数的图象.因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值,纵坐标是对应的函数值.二次函数$f(x)=a x^{2}+b x+c$的图象上的点的坐标的意义也是一样.由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0,位于x轴上的点的纵坐标等于0,位于x轴下方的点的纵坐标小于0,所以二次函数$f(x)=a x^{2}+b x+c$的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式$f(x)=a x^{2}+b x+c>0$的解集,二次函数$f(x)=a x^{2}+b x+c$的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式$f(x)=a x^{2}+b x+c < 0$的解集.所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式.当然,对于任意函数$y=f(x)$,只要能画出它的图象,那么就可以解不等式$f(x)>0$或$f(x) < 0$.
知识拓展
1.如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c \geq 0$的解集是$R$,则有$\left\{\begin{array}{l}{a>0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c \leq 0}\end{array}\right.$如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c \leqslant 0$的解集是$R$,则有$\left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c \leq 0}\end{array}\right.$2.如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c \geq 0$的解集是$\varnothing$,则有$\left\{\begin{array}{l}{a < 0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c < 0}\end{array}\right.$如果一元二次不等式$a x^{2}+b x+c \geq 0$的解集是$\varnothing$,则有$\left\{\begin{array}{l}{a>0} \\ {\Delta=b^{2}-4 a c < 0}\end{array}\right.$
二、简单的一元高次不等式的解法
剖析:一元高次不等式$f(x)>0$用数轴穿根法(或称根轴法,区间法)求解,其步骤是:
(1)将$f(x)$最高次项的系数化为正数;
(2)将$f(x)$分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积;
(3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过);
(4)根据曲线显现出的$f(x)$值的符号变化规律,写出不等式的解集.
即:$f(x)>0$,其中$f(x)=a_{0} x^{k}+a_{1} x^{k-1}+\cdots+a_{k}$,且$f(x)$能分解为若干个一次因式的积$a_{0}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \cdots\left(x-x_{k}\right)>0$,其中$a_{0}>0, x_{1} < x_{2}<\cdots < x_{k-1} < x_{k}$,如图所示.
这k个值将数轴分为$(k+1)$个区间$\left(x_{k}+\infty\right),\left(x_{k-1}, x_{k}\right),\left(x_{k-2}, x_{k-1}\right), \cdots$,这$(k+1)$个区间从右到左依次编号为第$1,2,3, \cdots, k+1$号,那么$f(x)>0$的解集为第$1,3,5, \cdots$奇数号区间的并集.
三、分式不等式的解法
剖析:分母中含有未知数,且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式,解分式不等式的基本思路是将分式不等式等价转化为整式不等式或整式不等式组.常见的四种形式的分式不等式转化方法如下表所示.
分式不等式
同解变形1
同解变形2
$\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{f(x) > 0} \\ {g(x) > 0}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{f(x) < 0} \\ {g(x) < 0}\end{array}\right.$$\frac{f(x)}{g(x)}>0 \Leftrightarrow$
$f(x) g(x)>0$
$\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \Leftrightarrow$
$f(x) g(x)>0$$\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})} < 0$
$\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})} < 0 \\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{f}(\mathrm{x}) > 0} \\ {\mathrm{g}(\mathrm{x})<0}\end{array}\right.$
或 $\left\{\begin{array}{l}{f(x) < 0} \\ {g(x) > 0}\end{array}\right.$$\frac{f(x)}{g(x)} < 0 \Leftrightarrow$
$f(x) g(x) < 0$
$\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$
$\left\{\begin{array}{l}{f(x) \geq 0} \\ {g(x) > 0}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{f(x) \leq 0} \\ {g(x) < 0}\end{array}\right.$$\frac{f(x)}{g(x)} \geqslant 0 \Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}{f(x) g(x) \geq 0} \\ {g(x) \neq 0}\end{array}\right.$
$\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0$
$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 0} \\ {\mathrm{g}(\mathrm{x}) < 0}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{f(x) \leq 0} \\ {g(x) > 0}\end{array}\right.$$\frac{f(x)}{g(x)} \leqslant 0 \Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}{f(x) g(x) \leq 0} \\ {g(x) \neq 0}\end{array}\right.$
四、教材中的“?”
1.由(1)和(2)的解法,你能否解不等式$\frac{x+2}{x-3} \geq 0, \frac{x+2}{x-3} \leqslant 0$ 剖析:$(1) \frac{x+2}{x-3} \geq 0$相当于$\left\{\begin{array}{l}{x+2 \leq 0} \\ {x-3 < 0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x+2 \leq 0} \\ {x-3 < 0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{x \geq-2} \\ {x > 3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x \leq-2} \\ {x < 3}\end{array}\right.$得$ x > 3$或$x \leqslant-2$.
$(2) \frac{x+2}{x-3} \leq 0$相当于$\left\{\begin{array}{l}{x+2 \geq 0} \\ {x-3 < 0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+2 \leq 0} \\ {x-3 > 0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x \geq-2} \\ {x < 3}\end{array}\right.$ 得 $-2 \leqslant x < 3$.
2.不等式$x^{2}+4 x+4 \geq 0$的解集是什么?$x^{2}+4 x+4 \leq 0$的解集是什么?
剖析:$x^{2}+4 x+4 \geq 0$相当于$(x+2)^{2} \geq 0$,所以不等式的解集为R.$x^{2}+4 x+4 \leqslant 0$相当于$(x+2)^{2} \leqslant 0$,所以不等式的解集为$\{x | x=-2\}$.
一元二次不等式的概念
【例1】 ①$x^{2}+x+1 < 0$,②$-x^{2}-4 x+5 \leqslant 0$,③$x+y^{2}+1 > 0$, ④ $m x^{2}-5 x+1 > 0$,⑤$-x^{3}+5 x \geq 0$,⑥$\left(a^{2}+1\right) x^{2}+b x+c > 0(m, a \in \mathbf{R})$.其中关于$x$的不等式是一元二次不等式的是_________.(请把正确的序号都填上)
【变式训练1】 下列不等式哪些是一元二次不等式(其中$a, b, c, m$为常数)?并说明理由.
$\quad(1) a x^{2}>0 ;(2) x^{3}+5 x-6 \geqslant 0 ; \\ (3)-x-x^{2} \leqslant 0 ;(4) x^{2}+3 x>0 ;(5) m x^{2}-$
$5 y>0 ;(6) a x^{2}+b x+c \leqslant 0 ;(7) x-\frac{1}{x}>0$
反思
在具体求解一个一元二次不等式的过程中,当所给不等式是非标准不等式形式时,应先转化为标准形式,再密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象求解.这种方法体现了“化归”思想的运用,要注意体会.
【变式训练2】 解不等式$-x^{2}+2 x-\frac{2}{3}>0$.
含参数的一元二次不等式的解法
【例3】 解关于$x$的不等式$x^{2}-\left(a+a^{2}\right) x+a^{3}>0(a \in \mathbf{R})$.
分析:这是一个含有参数的一元二次不等式,首先考虑因式分解,分解之后可知方程的根是$a, a^{2}$,需要对两根进行大小比较,所以要进行讨论.
反思
解含参数的一元二次不等式一般都需要对参数进行分类讨论,在分类讨论时,一般要注意以下三个方面:
(1)对二次项系数是否为0,是正数还是负数进行讨论,以便确定解集的形式;
(2)对判别式$\Delta>0, \Delta=0, \Delta < 0$进行讨论,以便确定一元二次方程根的个数;
(3)对相应一元二次方程根的大小进行讨论,以确定出解集.
【变式训练3】 解关于$x$的不等式$2 x^{2}+a x+2>0$.
已知一元二次不等式的解集求参数问题
【例4】 若关于$x$的不等式$p x^{2}+q x+2>0$的解集为$\{x |-1 < x < 2\}$,求$p+q$.
分析:本题需要通过不等式的解集来确定不等式的系数,它类似于在初中所碰到的由方程的根确定方程的系数.于是我们很自然地想到能否将不等式问题转化为方程问题.
反思
在本题中,已知不等式的解集,要求确定其系数,这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.这类问题也可以用下面的方法来解:(1)先作出一个解集符合要求的不等式;(2)根据不等式同解的要求,确定其系数的数值.利用此法确定不等式系数时,必须注意:①将两不等式化为同向不等式;②同向二次不等式的二次项系数同号,否则就会产生错误.
【变式训练4】 已知关于$x$的方程$x^{2}+2 m x-m+12=0$的两个实根都大于2,求实数$m$的取值范围.
分式不等式的解法
【例5】 解下列关于x的不等式:
(1) $\frac{4-x}{2 x+3} \leqslant 0 ;(2) \frac{2 x-1}{3 x+1}>0 ;(3) \frac{a x}{x+1} < 0$
反思
在把分式转化为整式的过程中应注意分母不能为零,对于“≥”“≤”型的分式不等式,转化后应变为不等式组.
【变式训练5】 不等式$\frac{x+1}{x} \leqslant 3$的解集为_________.
真题
1.已知集合$M=\{x| | x | < 3\}, N=\left\{x | x^{2}-x-6 > 0\right\}$,则$M \cap N$为( )
A.$R$
B. $\{x |-2 < x < 3\}$
C. $\{x |-3 < x < -2$或$x > 3 \}$
D. $\{x |-3 < x < -2\}$
2.函数$y=\sqrt{x^{2}+x-12}$的定义域是( )
A. $\{x | x<-4$或$x>3 \}$ B. $\{x |-4 < x < 3\}$
C. $\{x | x \leq-4$或$x \geqslant 3 \}$ D. $\{x |-4 \leqslant x \leqslant 3\}$
3.已知关于x的不等式$x^{2}-2 a x-8 a^{2} < 0(a>0)$的解集为$\left(x_{1}, x_{2}\right)$,且$x_{2}-x_{1}=15$,则$a=(\quad)$
$\mathrm{A} \cdot \frac{5}{2}$ $\mathrm{B} \cdot \frac{7}{2}$ $\mathrm{C} \cdot \frac{15}{4}$ $\mathrm{D} \cdot \frac{15}{2}$
4.已知二次函数$y=a x^{2}+b x+c(x \in \mathbf{R})$的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则关于$x$的不等式$a x^{2}+b x+c>0$的解集是_________.
5.已知集合$A=\left\{x | x^{2}-x-6 < 0\right\}$,$B=\left\{x | x^{2}+2 x-8 > 0\right\}$ ,求$A \cap B$.
