等比数列的前n项和
2.掌握等比数列的前n项和公式,并能用它解决有关等比数列问题.
1.等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、末项与公比
选用
公式
$S_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\operatorname{na}_{1}(\mathrm{q}=1)} \\ {\frac{\mathrm{a}_{1}\left(1-\mathrm{q}^{\mathrm{n}}\right)}{1-\mathrm{q}}(\mathrm{q} \neq 1)}\end{array}\right.$
$S_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\operatorname{na}_{1}(q=1)} \\ {\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}(q \neq 1)}\end{array}\right.$
名师点拨1.在求等比数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项和公式时,应分$q=1$和$q \neq 1$两种情况,若题目中没有指明,切不可忘记对q=1这一情形的讨论.
2.等比数列的通项公式及前$n$项和公式共涉及五个量,即$a_{1}, a_{n}, q, n, S_{n}$通常已知其中三个量可求另外两个量,这一方法简称为“知三求二”.
【做一做1-1】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知公比$q=-2, S_{5}=44$,则$a_{1}$的值为( )
A.4 B.-4
C.2 D.-2
解析:由题意,知$q \neq 1$,故有$S_{5}=44=\frac{a_{1}\left(1-q^{5}\right)}{1-q}$.将$q=-2$代入解得$a_{1}=4$.
答案:A
【做一做1-2】 若等比数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$,则公比$q=$________;前$n$项和$S_{n}=$________.
解析:根据等比数列的性质,得$a_{3}+a_{5}=q\left(a_{2}+a_{4}\right)$,
所以$q=2$.又$a_{2}+a_{4}=a_{1} q+a_{1} q^{3}$,故求得$a_{1}=2$,
所以$S_{n}=\frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}=2^{n+1}-2$.
答案:$2 \quad 2^{n+1}-2$
2.等比数列前n项和的常用性质
(1)在公比为$q(q \neq-1)$的等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若$S_{n}$为其前n项和,则依次每k项的和构成等比数列,即$S_{k}, S_{2 k}-S_{k}, S_{3 k}-S_{2 k}, S_{4 k}-S_{3 k}, \cdots$成等比数列,其公比为$q^{k}$ .
(2)在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若项数为2$n$,公比为$q$,奇数项之和为,偶数项之和为,则.
(3)数列$\left\{a_{n}\right\}$是公比为$q$的等比数列,则$S_{m+n}=S_{n}+q^{n} \cdot S_{m}$ .
【做一做2】 已知等比数列$\left\{a_{n}\right\}, S_{n}$是其前$n$项和,且$S_{3}=7, S_{6}=63$,则$S_{9}=$________.
答案:511
一、错位相减法的实质及应用
剖析:(1)用错位相减法求等比数列前n项和的实质是把等式两边同乘公比$q$,得一新的等式,错位相减求出$S_{n}-q S_{n}$,这样可以消去大量的“中间项”,从而能求出$S_{n}$.当$q=1$时,$S_{n}=n a_{1}$,当$q \neq 1$时,$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{1} q^{n}}{1-q}$.这是分段函数的形式,分段的界限是$q=1$.
(2)对于形如$\left\{x_{n} y_{n}\right\}$的数列的和,其中数列$\left\{x_{n}\right\}$为等差数列,数列$\left\{y_{n}\right\}$为等比数列,可以用错位相减法求和.错位相减法实际上是把一个数列的求和问题转化为等比数列的求和问题.
(3)利用这种方法时,要注意对公比的分类讨论.
二、等比数列的前$n$项和公式的推导(首项为$a_{1}$,公比$q \neq 1$)
剖析:除了书上用到的错位相减法之外,还有以下方法可以求等比数列的前$n$项和.
(1)等比性质法
$\because \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\cdots=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q$
$\therefore \frac{a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}}=q$
即$\frac{S_{n}-a_{1}}{S_{n}-a_{n}}=q$
解得$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}$
(2)拆项法
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}$
$=a_{1}+a_{1} q+a_{1} q^{2}+\cdots+a_{1} q^{n-1}$
$=a_{1}+q\left(a_{1}+a_{1} q+a_{1} q^{2}+\cdots+a_{1} q^{n-2}\right)$
$=a_{1}+q\left(a_{1}+a_{1} q+a_{1} q^{2} \\ +\cdots+a_{1} q^{n-2}+a_{1} q^{n-1}-a_{1} q^{n-1}\right)$
$\therefore S_{n}=a_{1}+q\left(S_{n}-a_{1} q^{n-1}\right)$
$=a_{1}+q\left(S_{n}-a_{n}\right)$.
解得:$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}$
三、教材中的“?”
例2有别的解法吗?将这个数列的前8项倒过来排,试一试.
剖析:$\because S_{8}=2^{7}+2^{6}+2^{5}+\cdots+2+1, \\ \therefore S_{8}=1+2+2^{2}+\cdots+2^{6}+2^{7} \\ =\frac{1 \times\left(1-2^{8}\right)}{4} 2^{8}-1 \\ =255$
此题说明在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若为有限项,如$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$,则$a_{n}, a_{n-1}, \cdots, a_{2}, a_{1}$也是等比数列,其公比为原数列公比的倒数.
等比数列的前n项和公式的应用
【例1】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,
(1)已知$a_{1}=3, q=2$,求$a_{6}, S_{6}$;
(2)已知$a_{1}=-1, a_{4}=64$,求$q$和$S_{4}$;
(3)已知$a_{3}=\frac{3}{2}, S_{3}=\frac{9}{2}$,求$a_{1,} q$.
分析:在等比数列的前n项和公式中有五个基本量$a_{1}, a_{n}, q, n, S_{n}$,只要已知任意三个,就可以求出其他两个.
反思
在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,首项$a_{1}$与公比$q$是两个最基本的元素;有关等比数列的问题,均可化成关于$a_{1}, q$的方程或方程组来求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)灵活运用等比数列的有关性质;(3)在使用等比数列前$n$项和公式时,要考虑$q$是否等于1.【变式训练1】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,
(1)若$S_{n}=189, q=2, a_{n}=96$,求$a_{1}$和n;
(2)若$a_{1}+a_{3}=10, a_{4}+a_{6}=\frac{5}{4}$,求$a_{4}$和$S_{5}$;
(3)若$q=2, S_{4}=1$,求$S_{8}$.
等比数列前n项和性质的应用
【例2】 在各项均为正数的等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若$S_{10}=10, S_{20}=30$,求$S_{30}$.
分析:可以利用解方程组解决,也可以利用等比数列的前n项和的性质来解决.
反思
由于等比数列中,无论是通项公式还是前n项和公式,均与$q$的若干次幂有关,所以在解决等比数列问题时,经常出现高次方程,为达到降幂的目的,在解方程组时经常利用两式相除,达到整体消元的目的.【变式训练2】 已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比$q=$_________,项数$n=$_________.
某些特殊数列的求和
【例3】 (1)已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式$a_{n}=2^{n}+n$,求该数列的前$n$项和$S_{n}$;
(2)已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式$a_{n}=n \cdot 2^{n}$,求该数列的前$n$项和$S_{n}$.
分析:(1)所给数列虽然不是等差数列或等比数列,但在求该数列的前$n$项和时可以把$a_{n}$看成一个等比数列和一个等差数列的和的形式,分别求和,再相加.(2)写出数列的前$n$项和,注意其与等比数列形式类似,考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前$n$项和.
反思
1.分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.2.错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前$n$项和.
【变式训练3】 已知$S_{n}=1+a+a^{2}+\cdots+a^{n}$,求$S_{n}$.
等比数列前n项和的实际应用
【例4】 为了保护某处珍贵文物古迹,政府决定建一堵大理石护墙,设计时,为了与周边景观协调,对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算:第一层用全部大理石的一半多一块,第二层用剩下的一半多一块,依此类推,到第十层恰好将大理石用完.已知大理石有偶数块,问共需大理石多少块?每层各用大理石多少块?
分析:设共用大理石的块数,即可列出各层大理石的使用块数,通过观察,此为一等比数列,通过等比数列求和,求出总块数,再求出每层用的块数.
反思
对于实际问题,可以采用设出未知量的方法使之具体化.通过对前几项的探求,寻找其为等比数列的本质,再通过等比数列求和公式来求解.
【变式训练4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年的投入将比上年减少$\frac{1}{5}$,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后旅游业收入每年会比上年增加$\frac{1}{4}$.设$n$年内(本年度为第1年)总投入$S_{n}$万元,旅游业总收入为$T_{n}$万元,写出$S_{n}, T_{n}$的表达式.
分析:根据题意可知投入资金及收入资金分别成等比数列,列出投入资金和收入资金的通项公式,再利用等比数列的求和公式求解.
易错辨析
易错点:忽视对项数的分类讨论而致误
【例5】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足试求其前n项和.
真题
1.已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$,则数列$\left\{a_{n}\right\}$的前10项和等于( )
$\mathrm{A} \cdot-6\left(1-3^{-10}\right) \quad \mathrm{B} \cdot \frac{1}{9}\left(1-3^{10}\right)$
$\operatorname{C.3}\left(1-3^{-10}\right) \quad$ D.3 $\left(1+3^{-10}\right)$
2.已知等比数列的前$n$项和$S_{n}=k \cdot 3^{n+1}$,则$k$的值为( )
A.全体实数 B.-1
C.1 D.3
3.某人为了观看2018年世界杯,从2011年起,每年5月10日到银行存入$a$元定期储蓄,若年利率为$p$,且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2018年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的总钱数为( )元.
$\mathrm{A} \cdot a(1+p)^{7}$ $\mathrm{B} \cdot a(1+p)^{8}$
$\mathrm{C} \cdot \frac{a}{p}\left[(1+p)^{7}-(1+p)\right]$ $D \cdot \frac{a}{p}\left[(1+p)^{8}-(1+p)\right]$
4.在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$S_{n}=65, n=4, q=\frac{2}{3}$ ,则$a_{1}=$_________.
5.设数列$\left\{a_{n}\right\}$满足:$a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}$.
(1)求$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式及前$n$项和$S_{n}$;
(2)已知$\left\{b_{n}\right\}$是等差数列,$T_{n}$为其前$n$项和,且$b_{1}=a_{2}, b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$,求$T_{20}$.