数列

【做一做1】 将正整数的前5个数排列成四种形式:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的序号是_________. 

答案:①②③④

【做一做2】 下列解析式中不是数列1,-1,1,-1,…的通项公式的是(　　)

A. $a_{n}=(-1)^{n}$

B. $a_{n}=(-1)^{n+1}$

C. $a_{n}=(-1)^{n-1}$

解析:令$n=1$,在$a_{n}=(-1)^{n+1}$中,$a_{1}=(-1)^{1+1}=1$,

同样在 $a_{n}=(-1)^{n-1}$,中均有$a_{1}=1$,符合题意.

而在$a_{n}=(-1)^{n}$中, $a_{1}=(-1)^{1}=-1$,不符合题意,故选A.

答案:A

【做一做3】 数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式$a_{n}=f(n)$,作为函数,它的定义域是(　　)

A.正整数集$\mathbf{N}_{+}$

B.自然数集N

C.正整数集$\mathbf{N}_{+}$或$\mathbf{N}_{+}$的任一子集

D.正整数集$\mathbf{N}_{+}$或其有限子集$\{1,2,3, \cdots, n\}$

答案:D

【做一做4】 已知下列数列:

①2 000,2 005,2 010,2 015;

②$0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \cdots, \frac{n-1}{n}, \cdots$;

③$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{2^{n-1}}, \cdots$;

④$1,-\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \cdots, \frac{(-1)^{n-1} \cdot n}{2 n-1}, \cdots$;

⑤$1,0,-1, \cdots, \sin \frac{n \pi}{2}, \cdots$.

其中,有穷数列是_________,无穷数列是_________. 

答案:①　②③④⑤

【例1】 下列哪些表示数列?哪些不表示数列?

$(1)\{1,5,2,3,6,7\}$;

(2)方程$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0$的解;

$(3) f(x)=x^{2}-x+2$的函数值$f(-1), f(0), f(1), f(2)$;

(4)当$x=1$时,$x, x+1, x-2, x^{2}, 2^{x}$的值;

$(5)-3,-1,1, x, 5,7, y, 11$.

分析:由数列的定义,抓住两点:(1)是不是一列数;(2)是否按照一定的顺序排列,即可判断出是否为数列.

【变式训练1】 下列说法正确的是(　　)

A.数列1,3,5,7可以表示为$\{1,3,5,7\}$

B.数列-1,0,1,2与数列2,1,0,-1是同一数列

C.数列中的各项必定是不同的

D.数列-1,3,6,-5的第三项是6

【例2】 分别写出下列数列的一个通项公式:

$(1)-1 \frac{1}{4}, 3 \frac{2}{9},-5 \frac{3}{16}, 7 \frac{4}{25},-9 \frac{5}{36}, \cdots$

$(2) 4,-\frac{5}{2}, 2,-\frac{7}{4}, \cdots$

$(3) 5,55,555,5555, \cdots$

$(4) 1,1, \frac{5}{7}, \frac{7}{15}, \frac{9}{31}, \cdots$

$(5) \sqrt{3}, 3, \sqrt{15}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{3}, \cdots$

分析:从前几项中观察出项与序号之间的规律,用一个式子表达出来即可.

【变式训练2】 先填空,再写出数列的一个通项公式:

$\begin{array}{ll}{(1) 1, \sqrt{2},( } & {), 2, \sqrt{5},( } & {), \sqrt{7}, \cdots} \\ {(2) 2,1,( } & {), \frac{1}{2}, \cdots} \\ {(3) \frac{3}{2}, \frac{9}{4},( } & {), \frac{65}{16}, \cdots}\end{array}$

【例3】 已知函数$f(x)=x-\frac{1}{x}$.数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$f\left(a_{n}\right)=-2 n$,且$a_{n}>0$.

(1)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式;

(2)判断数列$\left\{a_{n}\right\}$的增减性.

分析:先根据已知条件解方程求$a_{n}$,然后利用作差或作商法判断数列$\left\{a_{n}\right\}$的增减性.

【变式训练3】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}$,求证:数列$\left\{a_{n}\right\}$为递增数列.

【例4】 设函数$f(x)=\log _{2} x-\log _{x} 4(0 < x < 1)$,数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项$a_{n}$满足$f\left(2^{a_{n}}\right)=2 n\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.

(1)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

(2)数列$\left\{a_{n}\right\}$中有没有最小的项?若有最小项,试求出此项和相应的项数;若没有最小项,请说明理由.

分析:第(1)问可用代入法求得$a_{n}$的关系式,再通过解方程求得$a_{n}$.第(2)问可利用函数的单调性来判断.

【变式训练4】 数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-5 n+4\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$,问:

(1)数列中有多少项为负数?

(2)$n$为何值时,$a_{n}$有最小值?并求出最小值.

【例5】 已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{n}=n^{2}-k n\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$,且$\left\{a_{n}\right\}$单调递增,则$k$的取值范围是(　　)

$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot(-\infty, 2]} & {\mathrm{B} \cdot(-\infty, 3)} \\ {\mathrm{C} \cdot(-\infty, 2)} & {\mathrm{D} \cdot(-\infty, 3]}\end{array}$

1.在数列$1,1,2,3,5,8,13, x, 34, \cdots$中,$x$的值是(　　)

A.19  B.20

C.21  D.22

2.已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式是$a_{n}=-n^{2}+7 n+9$,则其第3项、第4项分别是(　　)

A.21,23  B.21,25

C.21,21  D.以上选项都不对

3.以下四个数中,哪个数是数列$\{n(n+1)\}$中的一项(　　)

A.380  B.39

C.32  D.23

4.已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$,则$\sqrt{10}-3$是这个数列的第________项. 

5.写出下列数列的一个通项公式: 

$(1) \frac{1}{2}, 2, \frac{9}{2}, 8, \frac{25}{2}, \cdots$

(2) $9,99,999,9999, \cdots ;$

(3) $\frac{2^{2}-1}{1}, \frac{3^{2}-2}{3}, \frac{4^{2}-3}{5}, \frac{5^{2}-4}{7}, \cdots$

(4) $2,-\frac{4}{5}, \frac{1}{2},-\frac{4}{11}, \frac{2}{7},-\frac{4}{17}, \cdots$