双曲线的几何性质

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解并掌握双曲线的几何性质.
2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.
知识点
  • 双曲线的标准方程和几何性质

    标准方程

    $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$

    $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$

    图形

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    范围

    $x \geqslant a$ 或$x \leqslant-a, y \in \mathbf{R}$

    $x \in \mathbf{R}, y \leqslant-a$ 或$y \geq a$

    对称性

    对称轴x轴, y轴

    对称中心:原点

    对称轴:x轴,y轴

    对称中心:原点

    顶点

    顶点坐标

    $A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0)$

    顶点坐标

    $A_{1}(0,-a), A_{2}(0, a)$

    渐近线

    $y=\pm \frac{b}{a} x$

    $y=\pm \frac{a}{b} x$

    离心率

    $e=\frac{c}{a}, e \in(1,+\infty)$,其中$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

     

    标准方程

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  \\ (a>0, b>0)$

    $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1  \\ (a>0, b>0)$

    实虚轴

    线段$A_{1} A_{2}$叫做双曲线的实轴,它的长$\left|A_{1} A_{2}\right|=2 a$;线段 $B_{1} B_{2}$叫做双曲线的虚轴,它的长$\left|B_{1} B_{2}\right|=2 b ; a$ 叫做双曲线的实半轴长, $b$叫做双曲线的虚半轴长 .

    通径

    过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为$\frac{2 b^{2}}{a}$ .

    $a, b, c$的关系

    $c^{2}=a^{2}+b^{2}(c>a>0, c>b>0)$

    名师点拨

    与椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程相比较,在双曲线的标准方程中,a,b只限制$a>0, b>0$,二者没有大小要求.若限制$a>b>0$或$a=b>0$或$0 < a     < b$,双曲线的离心率会受到影响.因为$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}$,故当$a>        b>0$时,$1 < e<\sqrt{2}$,当$a=b>0$时,$e=\sqrt{2}$(亦称等轴双曲线),当$0 < a         < b$时,$e>            \sqrt{2}$.            

    【做一做1】 已知双曲线的方程为$2 x^{2}-3 y^{2}=6$,则此双曲线的离心率为(  )

     $\mathrm{A} \cdot \frac{3}{2} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$ $\mathrm{C} \frac{\sqrt{15}}{3} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

    解析:$\because$双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$,

    $\therefore a=\sqrt{3}, c=\sqrt{5}, \therefore e=\frac{\sqrt{15}}{3}$.

    答案:C

    【做一做2】 已知双曲线的离心率为2,焦点是$(-4,0),(4,0)$,则其标准方程为_________. 

    解析:$\because \frac{c}{a}=2, c=4, \therefore a=2, b=2 \sqrt{3}$,

    $\therefore$双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$.

    答案:$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$

重难点
  • 如何理解有共同渐近线的双曲线系方程?

    剖析若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{\prime 2}}-\frac{y^{2}}{b^{\prime}}=\pm 1$有相同的渐近线,即两对直线$\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$与$\frac{x}{a^{\prime}} \pm \frac{y}{b^{\prime}}=0$分别重合,则必有$\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{1}{k}(k>0)$.故$a^{\prime}=k a, b^{\prime}=k b(k>0)$.

    反之,易求得双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$与$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$有相同的渐近线$y=\pm \frac{b}{a} x$,故与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$有相同的渐近线的双曲线系方程为$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$,上述方程可简化为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$.因此在已知渐近线方程的情况下,利用双曲线系$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$求双曲线方程较为方便.

例题解析
  • 由双曲线方程研究其几何性质

    【例1】 求双曲线$9 y^{2}-4 x^{2}=-36$的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.

    分析:将双曲线方程变为标准方程,确定$a,b,c$后求解.

    反思

    求双曲线的几何性质必须把方程化为标准形式.作几何图形时,应画出两条渐近线和两个顶点.

  • 已知双曲线的几何性质求双曲线的方程

    【例2】 已知双曲线的渐近线方程为$y=\pm \sqrt{3} x$,且过点$M(1, \sqrt{15})$,求双曲线的方程.

    分析:应先根据渐近线方程设出双曲线的方程,再代入点的坐标求解.

    反思    
           要注意在已知渐近线方程的情况下双曲线方程的设法,即已知渐近线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$或$y=\pm \frac{b}{a} x$时,设双曲线方程为$\left(y+\frac{b}{a} x\right)\left(y-\frac{b}{a} x\right)=m(m \neq 0)$.

  • 与双曲线的渐近线有关的问题

    【例3】 双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$的渐近线方程为_________. 

    反思    
           求双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的渐近线方程,一般有两种方法:

    ①求出$a, b$,代入$y=\pm \frac{b}{a} x$得渐近线方程.

    ②令$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0$,得$\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$,即$y=\pm \frac{b}{a} x$.

  • 求双曲线的离心率

    【例4】 双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点分别为$F_{1}, F_{2}$,如图,以$F_{1} F_{2}$为边作等边三角形$M F_{1} F_{2}$.若双曲线恰好平分三角形的另两边,交$M F_{1}$于点H,交$M F_{2}$于点N,则双曲线的离心率为(  )

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    $\begin{array}{ll}{\text { A. } 1+\sqrt{3}} & {\text { B. } 4+2 \sqrt{3}} \\ {\text { C. } 2 \sqrt{3}-2} & {\text { D. } 2 \sqrt{3}+2}\end{array}$

    反思    
           因为双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$,所以要求离心率,只要找到$a, b, c$三者之间任意两者的关系即可.

  • 真题

    1.双曲线的方程为$x^{2}-2 y^{2}=1$,则它的右焦点坐标为 (  )

    A. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \quad$ B. $\left(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right) \quad$ C. $\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right)$ D. $(\sqrt{3}, 0)$

    2.双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$的顶点坐标是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. }(5,0),(-5,0)} & {\text { B. }(0,3),(0,-3)} \\ {\text { C. }(4,0),(-4,0)} & {\text { D. }(3,0),(-3,0)}\end{array}$

    3.已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1$的右焦点为$(3,0)$,则该双曲线的离心率等于(  )

    A. $\frac{3 \sqrt{14}}{14} \quad$ B $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$                 $\mathrm{C} \cdot \frac{3}{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{4}{3}$

    4.若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线方程为$\frac{x}{3}+y=0$,则此双曲线的离心率为_________. 

    5.已知以原点$O$为中心,点$F(\sqrt{5}, 0)$)为右焦点的双曲线C的离心率$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$.求双曲线$C$的标准方程及其渐近线方程.

    分析:由题意可知双曲线的焦点在$x$轴上,所以可设方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,再由离心率知$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,结合$c=\sqrt{5}, a^{2}+b^{2}=c^{2}$,即可求得$a, b$,从而求得双曲线C的标准方程及其渐近线方程.

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