双曲线及其标准方程

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解双曲线的定义.
2.掌握双曲线的标准方程的定义.
知识点
  • 1.双曲线的定义

    在平面内到两个定点$\mathrm{F}_{1}, \mathrm{F}_{2}$的距离之差的绝对值等于定值$2a$(大于0且小于$\left|F_{1} F_{2}\right|$)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

    名师点拨

    在双曲线的定义中,

    ①当$2a$等于$\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点的轨迹是以$\mathrm{F}_{1}, \mathrm{F}_{2}$为端点的两条射线(包括端点).

    ②当$2a$大于$\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点的轨迹不存在.

    ③当$2a$等于零时,动点轨迹为线段$F_{1} F_{2}$的垂直平分线.

    ④若将定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹就成了双曲线的一支.

    【做一做1】 已知定点$F_{1}(-3,0), F_{2}(3,0)$,在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是(  )

    A. $\| P F_{1}|-| P F_{2}| |=5$

    B. $\| P F_{1}|-| P F_{2}| |=6$

    C. $\| P F_{1}|-| P F_{2}| |=7$

    $\mathrm{D} .\left|P F_{1}\right|^{2}-\left|P F_{2}\right|^{2}=\pm 6$

    解析:因为$\left|F_{1} F_{2}\right|=6$,所以动点$P$与两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离之差的绝对值应小于6,故选A.

    答案:$A$

  • 2.双曲线的标准方程

     

    焦点在x轴上

    焦点在y轴上

    标准方程

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$

    $\frac{z^{2}}{2^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$

    焦点坐标

    $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$

    $F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$

    $a, b, c$的

    关系

    $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

    $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

    名师点拨

    (1)由求双曲线标准方程的过程可知,只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才得到双曲线的标准方程.

    (2)在双曲线的标准方程中,若$x^{2}$的系数为正,则焦点在x轴上;若$y^{2}$的系数为正,则焦点在y轴上.

    【做一做2-1】 双曲线$\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦距为(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A.3 } \sqrt{2}} & {\text { B.4 } \sqrt{2}} \\ {\text { C.3 } \sqrt{3}} & {\text { D. } 4 \sqrt{3}}\end{array}$

    解析:由已知得$c^{2}=a^{2}+b^{2}=10+2=12$,

    $\therefore c=2 \sqrt{3}$,故双曲线的焦距为4$\sqrt{3}$.

    答案:D

    【做一做2-2】 若双曲线的焦点在$x$轴上,且经过$(2,0),(4,3)$两点,则双曲线的标准方程为_________. 

    解析:设双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{h^{2}}=1(a>0, b>0)$,由题意知a=2,则$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,将点(4,3)代入得$\frac{16}{4}-\frac{9}{b^{2}}=1$,解得$b^{2}=3$,故双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$.

    答案:$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$

重难点
  • 1.椭fun88网上娱乐网上娱乐与双曲线有哪些不同?

    剖析:

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

    椭fun88网上娱乐网上娱乐

    双曲线

    $\left|M F_{1}\right|+\left|M F_{2}\right|=2 a$

    $\left|M F_{1}\right|-\left|M F_{2}\right|=\pm 2 a$

    因为$a>c>0$,所以令$a^{2}-c^{2}=b^{2}(b>0)$

    因为$c>a>0$,所以令$c^{2}-a^{2}=b^{2}(b>0)$

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

    $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>b>0)$

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

    $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$

  • 2.求双曲线方程的常用方法有哪些?

    剖析:(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的参数$a, b$的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分类讨论.

    (2)定义法.

例题解析
  • 双曲线的定义及应用

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    【例1】 如图所示,已知定fun88网上娱乐网上娱乐$F_{1} : x^{2}+y^{2}+10 x+24=0$,定fun88网上娱乐网上娱乐$F_{2} : x^{2}+y^{2}-10 x+9=0$,动fun88网上娱乐网上娱乐$M$与定fun88网上娱乐网上娱乐$F_{1}, F_{2}$都外切,求动fun88网上娱乐网上娱乐fun88网上娱乐网上娱乐心$M$的轨迹方程.

     分析:可利用双曲线定义来解.

    反思如果遇到动点到两定点距离之差的问题,应联想到能否用双曲线的定义来解,并要注意$x$的范围.

  • 求双曲线的标准方程

    【例2】 已知双曲线的焦点在$y$轴上,并且双曲线过点$(3,-4 \sqrt{2})$,点$\left(\frac{9}{4}, 5\right)$,求双曲线的标准方程.

    分析可根据已知条件,先设方程,再把点的坐标代入即可.

    反思

    双曲线的标准方程有两个:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0), \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$
    ,方程$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$表示双曲线的充要条件是$m n < 0$.

  • 易错题型

    【例3】 已知双曲线$4 x^{2}-9 y^{2}+36=0$,求它的焦点坐标.

  • 真题

    1.双曲线$\frac{x^{2}}{m^{2}+16}-\frac{y^{2}}{9-m^{2}}=1$的焦距是(  )

    A.4       $\mathrm{B} .2 \sqrt{2}$

    C.10         D.与m有关

    2.若双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{144}=1$上一点$P$到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是(  )

    A.$P$到左焦点的距离是8

    B.$P$到左焦点的距离是15

    C.$P$到左焦点的距离不确定

    D.这样的点$P$不存在

    3.已知方程$\frac{x^{2}}{k-3}+\frac{y^{2}}{2-k}=1$表示焦点在$y$轴上的双曲线,则$k$的取值范围是_________.

    4.求符合下列条件的双曲线的标准方程:

    (1) $a=4, c=5$,焦点在x轴上;

    $(2) a=b$,经过点$(3,-1)$.

    分析:灵活设出双曲线的方程,要注意讨论焦点的位置,不要漏解.

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