反证法
2.熟练掌握用反证法证题的三个步骤:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.
3.认识反证法在数学证明中的重要作用;学会用反证法证题,并能根据题目的类型合理选择证明问题的方法;学会寻找问题中的矛盾,进行正确推理.
反证法
一般地,由证明$p \Rightarrow q$转向证明$\square \square q \Rightarrow r \Rightarrow \ldots \Rightarrow t$,
$t$与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定$\square \square q$为假,推出$q$为真的方法,叫做反证法.
知识拓展
(1)反证法的实质:证明命题的否定为假,所以命题为真.(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤:
①分清命题的条件和结论;
②作出与命题结论相矛盾的假定;
③由假定出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;
④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.
(3)反证法的适用情形:
①否定性命题;
②唯一性问题;
③至多至少问题.
(4)用反证法证明命题得出矛盾的方法:
①与假定矛盾;
②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾;
③与公认的简单事实矛盾.
(5)反证法常用的否定形式:
原语句
是
都是
$>$
$<$
至多有
一个
至少有
一个
否定
形式
不是
不都是
$\leqslant$
$\geq$
至少有
两个
一个都
没有
原语句
对任意$x$
都成立
存在某个
$x$成立
至少有$n$
个成立
至多有$n$
个成立
$p$或$q$
$p$且$q$
否定
形式
存在某
个$x$不
成立
对任意
$x$都不
成立
至多有
$n-1$个
成立
至少有
$n+1$
个成立
非$p$且
非$q$
非$p$或
非$q$
【做一做1】 命题“a,b是实数,若$|a-1|+|b-1|=0$,则a=b=1”用反证法证明时,应假设_________.
解析:“$a=b=1$”是“$a=1$,且$b=1$”,又因为“$p$且$q$”的否定为“非$p$或非$q$”,所以“$a=b=1$”的否定为“$a \neq 1$或$b \neq 1$”.
答案:$a \neq 1$或$b \neq 1$
【做一做2】 用反证法证明命题“若$x^{2}-(a+b) x+a b \neq 0$,则$x \neq a$,且$x \neq b$”时,应假设_________.
答案:$x=a$或$x=b$
如何理解反证法?
剖析:反证法证题的特征:通过导出矛盾、归结谬误,而使命题得证.
反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.
反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确,即证明命题的逆否命题成立.否定结论:对结论的反面要一一否定,不能遗漏;否定一个反面之反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法.要注意用反证法解题时,结论的否定在推理论证中可以作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.
用反证法证明不等式,常用的否定形式有:“$\geq$”的反面为“$<$”;“$\leqslant$”的反面为“$>$”;“$>$”的反面为“$\leqslant$”;“$<$”的反面为“$\geq$”;“$\neq$”的反面为“$=$”;“$=$”的反面为“$\neq$”.
反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”.其中:第一个否定是指“否定结论”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.
反证法不是直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的正确性.
否定性命题的证明
【例题1】 设数列$\left\{a_{n}\right\}$是公比为$q$的等比数列$, S_{n}$是它的前$n$项和.
求证:数列$\left\{S_{n}\right\}$不是等比数列.
分析:本题是否定性命题,可以尝试用反证法证明.
反思
本题的解答依据是等差数列和等比数列的概念和性质,体现了特殊化思想和正难则反的思维策略.
至多、至少问题的证明
【例题2】 求证:当$m$为实数时,关于x的一元二次方程$x^{2}-5 x+m=0$与$2 x^{2}+x-6-m=0$至少有一个方程有实根.
分析:从正面证明难以入手,考虑应用反证法证明.
唯一性命题的证明
【例题3】 已知:直线$a,b$为两条相交直线.
求证:$a$与$b$有且只有一个交点.
分析:“有且只有”“唯一”等问题常考虑应用反证法证明.
反思结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证其唯一性简单明了.
易错辨析
易错点:运用反证法证明命题时,第一步否定结论易错,因为有些结论的对立面不易确定,从而出错,解决的方法是:(1)利用集合思想检验;(2)对特殊的关键词,要记住它的否定形式.
【例题4】 用反证法证明命题“若$ab$不是偶数,则整数$a,b$都不是偶数”时,应假设_________.
真题
1.用反证法证明“如果$a>b$,那么$\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}$”时,假设的内容应是( )
A. $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}$
B. $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$
C. $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}$,且$\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$
D. $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}$ 或$\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$
2.用反证法证明“自然数$a,b,c$中恰有一个偶数”时的正确假设为( )
A.$a,b,c$都是奇数
B.$a,b,c$都是奇数或至少有两个偶数
C.$a,b,c$都是偶数
D.$a,b,c$中至少有两个偶数
3.两条异面直线在同一个平面内的射影不可能是( )
A.两条平行直线
B.两条相交直线
C.一点与一条直线
D.同一条直线
4.用反证法证明命题“如果$a, b \in \mathbf{N}_{,}, a b$可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容是_________.
5.求证:当$x^{2}+b x+c^{2}=0$有两个不相等的非零实数根时,$b c \neq 0$.
分析:$b c \neq 0$的否定形式为$b c=0$,包括:①$b=0, c=0$;②$b=0, c \neq 0$;③$b \neq 0, c=0$三种情况,故需要分类讨论.