命题的四种形式

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解四种命题的定义.
2.会分析四种命题的相互关系.
知识点
  • 1.四种命题

    (1)原命题:如果p,则q;

    (2)原命题的条件和结论“换位”得如果q,则p,这称为原命题的逆命题;

    (3)原命题的条件和结论“换质”(分别否定)得如果$\square \square p$,则$\square \square_{q}$,这称为原命题的否命题;

    名师点拨

    否命题和命题的否定是两个不同的概念,应注意区别:

    ①一般地,只有“如果p,则q”形式的命题才有否命题:“如果$\square \square p$,则$\square \square_{q}$”,而一般命题都可有“否定命题”;

    ②一般命题的否定命题与原命题总是一真一假,而“如果p,则q”的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.

    (4)原命题的条件和结论“换位”又“换质”得如果$\square \square_{q}$,则$\square \square p$,这称为原命题的逆否命题.

    原命题是我们自己规定的,其他三种命题是相对原命题而言的.

    【做一做1】 已知命题“如果$x^{2}=1$,则$x=1$或$x=-1$”为原命题,写出它的其他三种命题.

    解:它的逆命题、否命题、逆否命题分别为:

    如果$x=1$或$x=-1$,则$x^{2}=1$;

    如果$x^{2} \neq 1$,则$x \neq 1$,且$x \neq-1$;

    如果$x \neq 1$,且$x \neq-1$,则$x^{2} \neq 1$.

  • 2.四种命题的关系

    (1)原命题和逆命题是互逆的命题;否命题和逆否命题也是互逆的命题.

    (2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题分别是互否的命题.

    (3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别都是互为逆否的命题.

    四种命题的关系如下图:

    blob.png

    【做一做2】 与命题“如果$x>2$,则$x^{2}>4$”互逆的命题是 (  )

    A.如果$x>2$,则$x^{2} < 4$  B.如果$x \leqslant 2$,则$x^{2} \leqslant 4$

    C.如果$x^{2} \leqslant 4$,则$x \leqslant 2$  D.如果$x^{2}>4$,则$x>2$

    答案:D

重难点
  • 1.互为逆否命题的两个命题的等价性的理解.

    剖析:互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出恰当的解释.

    blob.png


    设$A=\{x | p(x)\}, B=\{x | q(x)\}$,其中p,q是集合A,B中元素的特征性质,如果$A?B$,则意味着对于元素x要具有性质p就必须有性质q,所以可以认为$A?B$与$p \Rightarrow q$等同.由维恩图(如图所示)易发现有下面的结论:$A?B$与$?UB??UA$等价,也就说明“$p \Rightarrow q$”与“$\square \quad q \Rightarrow \square p$”等价.

  • 2.互为逆否命题的两个命题的等价性的应用.

    剖析:由于原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假,所以当一个命题不易判断真假时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假,这种方法特别适合条件和结论是否定形式的命题,如判断“如果$a+b \neq 5$,则$a \neq 2$或$a \neq 3$”的真假,直接去看,是不易判断其真假的,但以其逆否命题“如果$a=2$,且$a=3$,则$a+b=5$”来判断真假就十分容易了.

例题解析
  • 四种命题

    【例1】 写出命题“已知$a, b, c, d$都是实数,若$a=b, c=d$,则$a+c=b+d$”的逆命题、否命题与逆否命题.

    分析:先分清命题的条件和结论,再由四种命题的定义写出即可.条件“$a=b, c=d$”是“$p$且$q$”形式的命题,其否定为“$a \neq b$或$c \neq d$”.

    反思

    写已知命题的逆命题、否命题与逆否命题时,应把已知命题看成原命题,首先分清原命题的条件和结论,然后利用四种命题的定义写出其他三种命题.

  • 四种命题的关系

    【例2】 已知下列四个命题:

    $(1)p:$若一个数是负数,则它的平方是正数;

    $(2)q:$若一个数不是负数,则它的平方不是正数;

    $(3)s:$若一个数的平方不是正数,则它不是负数;

    $(4)r:$若一个数的平方是正数,则它是负数.

    其中是互为逆否命题且都为真命题的两个命题为(  )

    A.$p$与$r$  B.$q$与$r$  C.$p$与$q$  D.$p$与$s$

    反思

    解决本题的关键是明确四种命题的相互关系,利用“原命题与逆否命题”互为逆否命题、“否命题与逆命题”互为逆否命题来解决.

  • 命题的否定与命题的否命题

    【例3】 写出命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定及否命题,并判断它们的真假.

    分析:该命题是省略全称量词的全称命题,写其否定时要添加存在量词.利用否命题的定义写出否命题.

    反思

    命题的否定一般来说只否定命题的结论,而写原命题的否命题时,既要否定条件又要否定结论.

  • 真题

    1.对原命题的条件和结论分别否定得到的命题是原命题的 (  )

    A.逆命题    B.否命题

    C.逆否命题  D.全称命题

    2.命题“若两个角相等,则这两个角是对顶角”的逆命题是 (  )

    A.若两个角是对顶角,则这两个角相等

    B.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等

    C.若两个角是对顶角,则这两个角不相等

    D.若两个角不相等,则这两个角不是对顶角

    3.与命题“若$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$,则$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$”等价的命题是(  )

    A.若$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \neq 0$,则$a$不垂直于$b$

    B.若$\mathrm{a} \perp \mathrm{b}$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$

    C.若$a$不垂直于b,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \neq 0$

    D.若$a \cdot b \neq 0$,则$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$

    4.命题“若$\alpha=\frac{\pi}{4}$,则$\tan \alpha=1$”的逆否命题是(  )

    A.若$\alpha \neq \frac{\pi}{4}$,则$\tan \alpha \neq 1$  B.若$\alpha=\frac{\pi}{4}$,则$\tan \alpha \neq 1$

    C.若$\tan \alpha \neq 1$,则$\alpha \neq \frac{\pi}{4}$  D.若$\tan \alpha \neq 1$,则$\alpha=\frac{\pi}{4}$

    5.命题“如果角$\alpha=60^{\circ}$,则$\tan \alpha=\sqrt{3}$”的否定是“_________”; 其否命题是“_________”. 

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