命题的四种形式
2.会分析四种命题的相互关系.
1.四种命题
(1)原命题:如果p,则q;
(2)原命题的条件和结论“换位”得如果q,则p,这称为原命题的逆命题;
(3)原命题的条件和结论“换质”(分别否定)得如果$\square \square p$,则$\square \square_{q}$,这称为原命题的否命题;
名师点拨否命题和命题的否定是两个不同的概念,应注意区别:
①一般地,只有“如果p,则q”形式的命题才有否命题:“如果$\square \square p$,则$\square \square_{q}$”,而一般命题都可有“否定命题”;
②一般命题的否定命题与原命题总是一真一假,而“如果p,则q”的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.
(4)原命题的条件和结论“换位”又“换质”得如果$\square \square_{q}$,则$\square \square p$,这称为原命题的逆否命题.
原命题是我们自己规定的,其他三种命题是相对原命题而言的.
【做一做1】 已知命题“如果$x^{2}=1$,则$x=1$或$x=-1$”为原命题,写出它的其他三种命题.
解:它的逆命题、否命题、逆否命题分别为:
如果$x=1$或$x=-1$,则$x^{2}=1$;
如果$x^{2} \neq 1$,则$x \neq 1$,且$x \neq-1$;
如果$x \neq 1$,且$x \neq-1$,则$x^{2} \neq 1$.
2.四种命题的关系
(1)原命题和逆命题是互逆的命题;否命题和逆否命题也是互逆的命题.
(2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题分别是互否的命题.
(3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别都是互为逆否的命题.
四种命题的关系如下图:
【做一做2】 与命题“如果$x>2$,则$x^{2}>4$”互逆的命题是 ( )
A.如果$x>2$,则$x^{2} < 4$ B.如果$x \leqslant 2$,则$x^{2} \leqslant 4$
C.如果$x^{2} \leqslant 4$,则$x \leqslant 2$ D.如果$x^{2}>4$,则$x>2$
答案:D
1.互为逆否命题的两个命题的等价性的理解.
剖析:互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出恰当的解释.
设$A=\{x | p(x)\}, B=\{x | q(x)\}$,其中p,q是集合A,B中元素的特征性质,如果$A?B$,则意味着对于元素x要具有性质p就必须有性质q,所以可以认为$A?B$与$p \Rightarrow q$等同.由维恩图(如图所示)易发现有下面的结论:$A?B$与$?UB??UA$等价,也就说明“$p \Rightarrow q$”与“$\square \quad q \Rightarrow \square p$”等价.
2.互为逆否命题的两个命题的等价性的应用.
剖析:由于原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假,所以当一个命题不易判断真假时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假,这种方法特别适合条件和结论是否定形式的命题,如判断“如果$a+b \neq 5$,则$a \neq 2$或$a \neq 3$”的真假,直接去看,是不易判断其真假的,但以其逆否命题“如果$a=2$,且$a=3$,则$a+b=5$”来判断真假就十分容易了.
四种命题
【例1】 写出命题“已知$a, b, c, d$都是实数,若$a=b, c=d$,则$a+c=b+d$”的逆命题、否命题与逆否命题.
分析:先分清命题的条件和结论,再由四种命题的定义写出即可.条件“$a=b, c=d$”是“$p$且$q$”形式的命题,其否定为“$a \neq b$或$c \neq d$”.
反思
写已知命题的逆命题、否命题与逆否命题时,应把已知命题看成原命题,首先分清原命题的条件和结论,然后利用四种命题的定义写出其他三种命题.
四种命题的关系
【例2】 已知下列四个命题:
$(1)p:$若一个数是负数,则它的平方是正数;
$(2)q:$若一个数不是负数,则它的平方不是正数;
$(3)s:$若一个数的平方不是正数,则它不是负数;
$(4)r:$若一个数的平方是正数,则它是负数.
其中是互为逆否命题且都为真命题的两个命题为( )
A.$p$与$r$ B.$q$与$r$ C.$p$与$q$ D.$p$与$s$
反思
解决本题的关键是明确四种命题的相互关系,利用“原命题与逆否命题”互为逆否命题、“否命题与逆命题”互为逆否命题来解决.
命题的否定与命题的否命题
【例3】 写出命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定及否命题,并判断它们的真假.
分析:该命题是省略全称量词的全称命题,写其否定时要添加存在量词.利用否命题的定义写出否命题.
反思
命题的否定一般来说只否定命题的结论,而写原命题的否命题时,既要否定条件又要否定结论.
真题
1.对原命题的条件和结论分别否定得到的命题是原命题的 ( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.全称命题
2.命题“若两个角相等,则这两个角是对顶角”的逆命题是 ( )
A.若两个角是对顶角,则这两个角相等
B.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等
C.若两个角是对顶角,则这两个角不相等
D.若两个角不相等,则这两个角不是对顶角
3.与命题“若$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$,则$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$”等价的命题是( )
A.若$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \neq 0$,则$a$不垂直于$b$
B.若$\mathrm{a} \perp \mathrm{b}$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$
C.若$a$不垂直于b,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \neq 0$
D.若$a \cdot b \neq 0$,则$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$
4.命题“若$\alpha=\frac{\pi}{4}$,则$\tan \alpha=1$”的逆否命题是( )
A.若$\alpha \neq \frac{\pi}{4}$,则$\tan \alpha \neq 1$ B.若$\alpha=\frac{\pi}{4}$,则$\tan \alpha \neq 1$
C.若$\tan \alpha \neq 1$,则$\alpha \neq \frac{\pi}{4}$ D.若$\tan \alpha \neq 1$,则$\alpha=\frac{\pi}{4}$
5.命题“如果角$\alpha=60^{\circ}$,则$\tan \alpha=\sqrt{3}$”的否定是“_________”; 其否命题是“_________”.