高中数学网椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
2.掌握椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程的定义.
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义
平面内与两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离的和等于常数(大于$\left|F_{1} F_{2}\right|$)的点的轨迹(或集合)叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐.这两个定点叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点,两焦点的距离叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦距.
名师点拨在椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义中,
(1)当常数等于$\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点的轨迹是线段$F_{1} F_{2}$.
(2)当常数小于$\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点的轨迹不存在.
【做一做1-1】 到两定点$F_{1}(-5,0)$和$F_{2}(5,0)$的距离之和为10的点M的轨迹是( )
A.椭fun88网上娱乐网上娱乐 B.线段
C.fun88网上娱乐网上娱乐 D.以上答案都不正确
解析:由题意可知,$\left|M F_{1}\right|+\left|M F_{2}\right|=10=\left|F_{1} F_{2}\right|$,故点$M$的轨迹是线段$F_{1} F_{2}$.
答案:B
【做一做1-2】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐上一点P到椭fun88网上娱乐网上娱乐两个焦点$F_{1}, F_{2}$的距离之和等于10,且椭fun88网上娱乐网上娱乐上另一点Q到焦点$F_{1}$的距离为3,则点$Q$到焦点$F_{2}$的距离为( )
A.2 B.3 C.5 D.7
解析:由椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义,得点$Q$到另一个焦点的距离为10-3=7.
答案:$D$
2.椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>b>0)$
$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>b>0)$
焦点坐标
$E_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$
$F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$
$a, b, c$
的关系
$a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}$
名师点拨由求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程的过程可知,只有当椭fun88网上娱乐网上娱乐的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
【做一做2】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点坐标为_________.
解析:由椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程知焦点在y轴上,则$a^{2}=9, b^{2}=4$,所以$c^{2}=5$.
故焦点坐标为$(0, \sqrt{5})$和$(0,-\sqrt{5})$.
答案: $(0, \sqrt{5})$和$(0,-\sqrt{5})$
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义
剖析:(1)用集合语言叙述为:
点集$P=\left\{M| | M F_{1}|+| M F_{2}|=2 a, 2 a>| F_{1} F_{2} |\right.$;
(2)在椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义中,要求常数必须大于$\left|F_{1} F_{2}\right|$,否则点的轨迹就不是椭fun88网上娱乐网上娱乐.
2.椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
剖析:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,为椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程，其焦点在$x$轴上,焦点为$F_{1}(-c, 0), F_{2}(\mathcal{C}, 0)$,且$a,b,c$满足$a^{2}=b^{2}+c^{2}$.当焦点在y轴上时,标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0$)，焦点为$F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$,且$a,b,c$满足$a^{2}=b^{2}+c^{2}$(当且仅当椭fun88网上娱乐网上娱乐的中心在原点,其焦点在坐标轴上时,椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程才是标准形式).
在椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程中,$a$表示椭fun88网上娱乐网上娱乐上的任一点M到两焦点的距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,如图,$a,b,c$恰构成一个直角三角形的三条边,都是正数,$a$是斜边,所以$y>b, a>c$,$a^{2}=b^{2}+c^{2}$,其中$c$是焦距的一半,叫做半焦距.
名师点拨方程$A x^{2}+B y^{2}=C(A, B, C$均不为0$)$可化为$\frac{A x^{2}}{C}+\frac{B y^{2}}{C}=1$,即$\frac{x^{2}}{\frac{C}{A}}+\frac{y^{2}}{\frac{C}{B}}=1$.
只有当$A,B,C$同号,且$A \neq B$时,方程表示椭fun88网上娱乐网上娱乐.当$\frac{C}{A}>\frac{C}{B}$时,椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点在$x$轴上;当$\frac{C}{A}<\frac{C}{B}$时,椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点在$y$轴上.
求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为$(-4,0)$和$(4,0)$,且椭fun88网上娱乐网上娱乐经过点$(5,0)$;
(2)焦点在y轴上,且经过点$(0,2)$和$(1,0)$;
(3)经过点$P(-2 \sqrt{3}, 1), Q(\sqrt{3},-2)$.
分析:应用待定系数法求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,注意“定位”与“定量”的确定.
反思
1.当椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点在坐标轴上且两焦点的中点为坐标原点时,椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程是标准方程.2.求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程可分三步:(1)确定焦点所在的坐标轴;(2)求出$a^{2}, b^{2}$的值;(3)写出椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
3.已知椭fun88网上娱乐网上娱乐经过两点,求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程时,把椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程设成$m x^{2}+n y^{2}=1(m>0, n>0$,$m \neq n)$的形式有两个优点:(1)列出的方程组中分母不含字母;(2)不用讨论焦点所在的坐标轴.
与椭fun88网上娱乐网上娱乐有关的轨迹问题
【例2】 若一个动点$P(x, y)$到两个定点$A(-1,0), A^{\prime}(1,0)$的距离的和为定值$m$,试求点$P$的轨迹.
分析:分$m < 2, m = 2, m > 2$三种情况来讨论,即可求得所求的轨迹.
反思
在求动点的轨迹时,要对动点仔细分析,当发现动点到两定点的距离之和为定值时,首先要考虑它是否满足椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义,再确定其轨迹.一定要注意定值与两定点间距离的大小关系.
易错题型
【例3】 若方程$\frac{x^{2}}{5-k}+\frac{y^{2}}{k-3}=1$表示椭fun88网上娱乐网上娱乐,求k的取值范围.
反思
求解椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程及相关问题时,需要注意:(1)不要忽略定义中的条件$2 a>\left|F_{1} F_{2}\right|$;
(2)在没有明确椭fun88网上娱乐网上娱乐焦点所在坐标轴的情况下,椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程可能有两个;
(3)不要忽略标准方程中$a>b>0$这一条件.
真题
1.到两定点$F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$的距离之和为6的点$M$的轨迹( )
A.是椭fun88网上娱乐网上娱乐
B.是线段
C.是椭fun88网上娱乐网上娱乐或线段或不存在
D.不存在
2.焦点在$x$轴上,且过点$(-5,0)$和$(0,3)$的椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程为_________.
3.如果方程$x^{2}+k y^{2}=2$表示焦点在$y$轴上的椭fun88网上娱乐网上娱乐,那么实数$k$的取值范围是_________.
4.已知$B,C$是两个定点,$|B C|=4$,且$\triangle A B C$的周长等于10,则$\triangle A B C$的顶点$A$的轨迹方程为_________.
5.已知点$P$在椭fun88网上娱乐网上娱乐上,且$P$到两焦点的距离分别为5,3,过$P$且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭fun88网上娱乐网上娱乐的一个焦点,求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
分析:由点$P$到两焦点的距离分别为5,3,得$2a=5+3$;由过$P$且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭fun88网上娱乐网上娱乐的一个焦点,得$(2 c)^{2}=5^{2}-3^{2}$,从而可求得$a,b,c$,得到所求方程.
