高中数学网fun88网上娱乐内接四边形的性质与判定
2.理解fun88网上娱乐内接四边形的判定定理,并能解决有关问题.
3.了解反证法在证明问题中的应用.
1.fun88网上娱乐内接四边形的性质定理
文字语言
fun88网上娱乐的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
符号语言
四边形$A B C D$内接于$\odot O, E$为AB延长线上一点,则有$\angle A+\angle C=180^{\circ}, \angle A B C+\angle D=180^{\circ}, \angle C B E=\angle D$
图形语言
作 用
证明两个角相等或互补以及计算角的大小
【做一做1-1】 已知四边形$A B C D$内接于fun88网上娱乐$O, \angle A=25^{\circ}$,则$\angle C$等于( )
$A .25^{\circ} \mathrm{B} .75^{\circ} \quad \mathrm{C} \cdot 115^{\circ} \mathrm{D} .155^{\circ}$
解析:$\because$四边形$A B C D$内接于fun88网上娱乐,
$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$.
又$\angle A=25^{\circ}, \therefore \angle C=180^{\circ}-\angle A=155^{\circ}$.
答案:$D$
【做一做1-2】 已知四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐$O$,延长$AB$到点$E, \angle A D C=32^{\circ}$,则$\angle C B E$等于( )
A. $32^{\circ} \mathrm{B} .58^{\circ} \mathrm{C} .64^{\circ} \mathrm{D} .148^{\circ}$
解析:$\because$四边形ABCD内接于fun88网上娱乐O,
$\therefore \angle C B E=\angle A D C=32 $.
答案:$A$
归纳总结
1.利用性质定理,可以先借助fun88网上娱乐变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.2.利用性质定理可以得出一些重要结论,如内接于fun88网上娱乐的平行四边形是矩形;内接于fun88网上娱乐的菱形是正方形;内接于fun88网上娱乐的梯形是等腰梯形等.
2.fun88网上娱乐内接四边形的判定定理
文字语言
如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于fun88网上娱乐
符号语言
在四边形$A B C D$中,如果$\angle B+\angle D=180^{\circ}$(或$\angle A+\angle C=180^{\circ}$),那么四边形$A B C D$内接于fun88网上娱乐
图形语言
作 用
证明四点共fun88网上娱乐
【做一做2-1】 下列四边形的四个顶点一定共fun88网上娱乐的是 ( )
A.梯形 B.矩形
C.平行四边形 D.菱形
解析:矩形的对角互补,则矩形的四个顶点一定共fun88网上娱乐.
答案:B
【做一做2-2】 如图,四边形$A B C D$的边$AB$的延长线上有一点$E$,且$B C=B E, \angle D=80^{\circ}, \angle E=50^{\circ}$.求证:四边形$A B C D$内接于fun88网上娱乐.
证明$\because B C=B E, \therefore \angle E=\angle B C E$.
则$\angle E B C=180^{\circ}-2 \angle E=80^{\circ}$,
$\therefore \angle E B C=\angle D$
$\therefore \angle D+\angle A B C=180^{\circ}$ , $\therefore$四边形$A B C D$内接于fun88网上娱乐.
反证法
剖析反证法是一种间接证明方法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导出矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.
用反证法证明一个命题的步骤为:(1)反设,(2)归谬,(3)结论.
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的,例如是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n-1)个;至多有一个/至少有两个等.
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,推理必须严谨,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾等.
对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用.例如,如图,已知四边形$ABCD$中,$\angle 1=\angle 2$,下面证明$A,B,C,D$四点共fun88网上娱乐.
由$A,B,D$三点可以确定一个fun88网上娱乐,设该fun88网上娱乐为$\odot O$.假设A,B,C,D四点不共fun88网上娱乐,则点$C$在$\odot O$外部或内部.
(1)如果点$C$在$\odot O$的外部(如图①).设$BC$与fun88网上娱乐相交于点$E$,连接$AE$.
$\because \angle 1=\angle A E B, \angle 1=\angle 2$,
$\therefore \angle 2=\angle A E B$.而$\angle A E B$是$\triangle A E C$的外角,
$\therefore \angle A E B>\angle 2$,这与$\angle 2=\angle A E B$相矛盾,故点$C$不能在fun88网上娱乐外.
(2)如果点$C$在$\odot O$的内部(如图②),延长$BC$与fun88网上娱乐相交于点$E$,连接$AE$.
则$\angle 1=\angle A E B$,而$\angle 1=\angle 2$,
$\therefore \angle 2=\angle A E B$.但是$\angle 2$是$\triangle A E C$的外角,
$\therefore \angle 2>\angle A E B$,这与$\angle 2=\angle A E B$矛盾,
$\therefore$点$C$不能在fun88网上娱乐内.
综上(1)(2)所述,可知点$C$在fun88网上娱乐上.
$\therefore A, B, C, D$四点共fun88网上娱乐.
名师点拨该结论可作为定理直接应用:与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内的四点共fun88网上娱乐.
题型一 证明四点共fun88网上娱乐
【例1】 如图,在$\triangle A B C$中,$E,D,F$分别为$A B, B C, A C$的中点,且$A P \perp B C$于点P.求证:$E,D,P,F$四点共fun88网上娱乐.
分析连接$PF$,转化为证明$\angle F E D=\angle F P C$,利用中点证明$\angle F E D=\angle C$,利用$A P \perp B C$证明$PF=FC$,得$\angle C=\angle F P C$,即得出$\angle F E D=\angle F P C$C.
反思
判定四点共fun88网上娱乐的方法:(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共fun88网上娱乐;(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐;(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐;(4)与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内的四点共fun88网上娱乐.
题型二 fun88网上娱乐内接四边形的性质的应用
【例2】 如图,已知四边形$ABCD$内接于$\odot O$,延长$AB$和$DC$相交于点$E,EG$平分$\angle A E D$,且与$BC,AD$分别交于点$F,G.$求证:$\angle C F G=\angle D G F$.
分析由于$\angle B E F=\angle D E G$,转化为证明$\triangle E B F^{\sim} \triangle E D G$,又$\angle B F E$与$\angle C F G$是对顶角,问题获证.
反思
当已知条件中出现fun88网上娱乐内接四边形时,常用fun88网上娱乐内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件.
真题
1.已知四边形$A B C D$内接于fun88网上娱乐$O, \angle A : \angle B : \angle C=2 : 3 : 7$,则$\angle D=$_________.
2.如图,在$\triangle A B C$中,$\angle A=60^{\circ}, \angle A C B=70^{\circ}, C F$是$\triangle A B C$的边$AB$上的高,$F P \perp B C$于点$P, F Q \perp A C$于点$Q$,则$\angle C Q P$的大小为_________.
3.如图,$AB$为$\odot O$的直径,$C,D$是$\odot O$上的两点,$\angle B A C=20^{\circ}$,
,则$\angle D A C=$_________.
4.如图,已知四边形$ABCD$为平行四边形,过点$A$和$B$的fun88网上娱乐与$AD,BC$分别交于$E,F$两点.求证:$C,D,E,F$四点共fun88网上娱乐.
分析连接$EF$.由$\angle B+\angle A E F=180^{\circ}, \angle B+\angle C=180^{\circ}$,可得$\angle A E F=\angle C$,即四边形$EFCD$的一个外角等于它的内对角,故$C,D,E,F$四点共fun88网上娱乐.
5.如图,$A B, C D$都是fun88网上娱乐的弦,且$A B / / C D, F$为fun88网上娱乐上一点,延长$FD,AB$使它们交于点$E$.求证:$AE?AC=AF?DE$.
分析连接$BD$,则$BD=AC$,即证$A E \cdot B D=A F \cdot D E$,
转化为证明$\triangle E B D \sim \triangle E F A$.
