高中数学网柱坐标系和球坐标系
2.与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别与联系.
1.柱坐标系
(1)定义:设空间中一点$M$的直角坐标为$(x, y, z), M$点在$xOy$坐标面上的投影点为$M_{0}, M_{0}$点在$xOy$平面上的极坐标为$(\rho, \theta)$,如图所示,则三个有序数$\rho, \theta, z$构成的数组$(\rho, \theta, z)$称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中,限定$\rho \geq 0,0 \leq \theta < 2 \pi, z$为任意实数.由此可见,柱坐标就是平面上的极坐标,加上与平面垂直的一个直角坐标.
(2)空间点$P$的直角坐标$(x, y, z)$与柱坐标$(\rho, \theta, z)$之间的变换公式为$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \cos \theta} \\ {y=\rho \sin \theta} \\ {z=z}\end{array}\right.$
【做一做1-1】 设点$P$的直角坐标为$(1,1,3)$,则它的柱坐标是_________.
答案：$\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}, 3\right)$
【做一做1-2】 柱坐标满足方程$\rho=2$的点所构成的图形是_________.
答案:以z轴所在直线为轴,以2为底面半径的fun88网上娱乐柱的侧面
2.球坐标系
(1)定义:设空间中一点M的直角坐标为$(x, y, z)$,点M在$x O y$坐标面上的投影点为$M_{0}$,连接$O M$和$O M_{0}$.如图所示,设z轴的正向与向量$\overrightarrow{O M}$的夹角为$\varphi, x$轴的正向与$\overrightarrow{O M_{0}}$的夹角为$\theta, M$点到原点$0$的距离
为$r$,则由三个数$r, \theta, \varphi$构成的有序数组$(r, \theta, \varphi)$称为空间中点$M$的球
坐标.若设投影点$M 0$在$x O y$平面上的极坐标为$(\rho, \theta)$,则极坐标$\theta$
就是上述的第二个球坐标$\theta$.在球坐标中限定$r \geq 0,0 \leq \theta < 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \pi$.
(2)空间点$P$的直角坐标$(x,y,z)$与球坐标
$(r, \theta, \varphi)$之间的变换公式为$\left\{\begin{array}{l}{x=r \sin \varphi \cos \theta} \\ {y=r \sin \varphi \sin \theta} \\ {z=r \cos \varphi}\end{array}\right.$
【做一做2】 已知点$M$的球坐标为$\left(4, \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$,则它的直角坐标是____________,它的柱坐标是_______________.
答案:$(2,2,-2 \sqrt{2}) \quad\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4},-2 \sqrt{2}\right)$
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别
剖析它们都是三维的坐标,球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标的基础上建立的.
在空间直角坐标中,我们需要三个长度$x,y,z$,而在柱坐标与球坐标中,我们需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置,需要$\rho, \theta, z$或者$r, \theta, \varphi$.
空间直角坐标:设点$M$为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于$x$轴、$y$轴、$z$轴,它们与$x$轴、$y$轴、$z$轴的交点依次为$P,Q,R$,这三点在$x$轴、$y$轴、$z$轴的坐标依次为$x,y,z.$于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组$x,y,z.$这组数$x,y,z$就叫做点M的坐标,并依次称$x,y$和$z$为点$M$的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示).
坐标为$(x,y,z)$的点$M$通常记为$M(x,y,z)$.这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组$(x,y,z)$之间的一一对应关系.
如果点$M$在$yOz$平面上,那么$x=0$;同样,$zOx$面上的点,$y=0$;如果点$M$在$x$轴上,那么$y=z=0$;如果点$M$是原点,那么$x=y=z=0$等.
几种三维坐标互不相同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.
2.建立空间坐标系的方法
剖析我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.
坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点,在实际应用时,我们可以根据问题的特点选择适当的坐标系,借助坐标系方便、简捷地研究问题.
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建立坐标系.
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是图形有一定的对称关系(如:正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等),我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题.
有些图形中没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的面,我们可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,建立空间坐标系.
题型一 直角坐标与柱坐标的互化
【例1】 设点$M$的直角坐标为$(1,1,1)$,求它在柱坐标系中的坐标.
分析把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标,利用公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \cos \theta} \\ {y=\rho \sin \theta} \\ {z=z}\end{array}\right.$求出$\rho, \theta$即可.
反思
由直角坐标求柱坐标,可以先设点$M$的柱坐标为$(\rho, \theta, z)$,代入变换公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \cos \theta} \\ {y=\rho \sin \theta} \\ {z=z}\end{array}\right.$求$\rho$和$\theta$;也可以利用$\rho^{2}=x^{2}+y^{2}$求$\rho$,利用$\tan \theta=\frac{y}{x}$求$\theta$,在求$\theta$时,要特别注意角$\theta$的终边所在的象限,从而确定$\theta$的取值.
题型二 直角坐标与球坐标的互化
【例2】 已知点$M$的球坐标为$\left(2, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$,求它的直角坐标.
分析利用变换公式$\left\{\begin{array}{l}{x=r \sin \varphi \cos \theta} \\ {y=r \sin \varphi \sin \theta} \\ {z=r \cos \varphi}\end{array}\right.$求解,其中$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \cos \varphi=\frac{z}{r}, \tan \theta=\frac{y}{x}$.
反思
由直角坐标求球坐标,可以先设点$M$的球坐标为$(r, \theta, \varphi)$,利用变换公式$\left\{\begin{array}{l}{x=r \sin \varphi \cos \theta} \\ {y=r \sin \varphi \sin \theta} \\ {z=r \cos \varphi}\end{array}\right.$求出$r, \varphi, \theta$即可;也可以利用$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \tan \theta=\frac{y}{x}, \cos \varphi=\frac{z}{r}$来求.需要特别注意的是在求$\varphi$和$\theta$时,要先弄清楚点$M$所在的位置.
题型三 求空间一点的坐标
【例3】 一个fun88网上娱乐形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,……,十六区,我们设fun88网上娱乐形体育馆第一排座位与体育馆中心的距离为$200 m$,每相邻两排座位的间距为$1 m$,每层看台的高度为$0.7 m$,现在需要确定第九区第四排正中的位置$A$,请建立适当的坐标系,把点$A$的坐标求出来.
反思
求空间中一点的柱坐标,与求平面内点的极坐标是类似的,需要确定极径、极角,只是比平面内点的极坐标多了一个量,即点在空间中的高度.
题型四 柱坐标系、球坐标系的应用
【例4】 已知点$P_{1}$的球坐标是$P 1\left(2 \sqrt{3}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$,点$P 2$的柱坐标是$P 2\left(\sqrt{6}, \frac{\pi}{6}, 1\right)$,求$|P 1 P 2|$.
分析先把两点坐标均化为空间直角坐标,再用空间两点间的距离公式求距离.
反思
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决.
题型五 易错辨析
【例5】 设点$M$的直角坐标为$(1,1, \sqrt{2})$,求它的球坐标.
真题
1.在空间直角坐标系$O x y z$中,方程$x=1$表示( )
A.点 B.直线
C.平面 D.以上都不对
2.在球坐标系中,方程$r=2\left(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq \theta < 2 \pi\right)$表示 ( )
A.fun88网上娱乐 B.半fun88网上娱乐
C.球面 D.半球面
3.点$M$的直角坐标为$(\sqrt{3}, 1,-2)$,则它的球坐标为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. }\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{4}\right)} & {\text { B. }\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)} \\ {\text { C. }\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right)} & {\text { D. }\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{4}\right)}\end{array}$
4.空间点$P$的柱坐标为$\left(6, \frac{\pi}{3}, 4\right)$,则点$P$关于$z$轴的对称点的柱坐标为_________.
5.把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来.
$(1)(2,0,-2)$
$(2)(\pi, \pi, \pi)$.
6.把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来.
(1) $\left(2, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right)$
(2) $\left(2, \frac{7 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$
